Định lý về đặc trưng qua tập đóng của tập compact

Định lý tập compact đặc trưng qua tập đóng là một phát biểu định lý trong ngành tô pô học: Nếu một họ các tập con đóng có tính giao hữu hạn bất kì có phần giao khác ${\displaystyle \emptyset }$ thì không gian là compact.^[1]

Cho ${\displaystyle X}$ là không gian tôpô.

Cho ${\displaystyle S\subset 2^{X}}$, ${\displaystyle S}$ là một họ các tập con của ${\displaystyle X}$.

${\displaystyle S}$ có tính giao hữu hạn nếu giao của một họ con hữu hạn bất kỳ của ${\displaystyle S}$ thì khác ${\displaystyle \emptyset }$

hay với ${\displaystyle T\subset S,\;|T|<\infty \Rightarrow \bigcap _{A\in T}A\neq \emptyset }$

Giả sử ${\displaystyle X}$ có đặc trưng trên.

Chứng minh ${\displaystyle X}$ compact.

Giả sử ${\displaystyle X}$ không compact.

Gọi ${\displaystyle O}$ là một phủ mở của ${\displaystyle X}$.

${\displaystyle \bigcup _{U\in O}U=X\qquad U\in \tau _{X}}$

${\displaystyle O}$ không có phủ con hữu hạn.

Cho ${\displaystyle S}$ là một họ con hữu hạn của ${\displaystyle O}$ tức là ${\displaystyle S\subset O,\;|S|<\infty }$

thì ${\displaystyle S}$ không phủ được ${\displaystyle X}$: ${\displaystyle \bigcup _{U\in S}U\varsubsetneq X}$

Suy ra

${\displaystyle X\backslash \bigcup _{U\in S}U\neq \emptyset :\bigcap _{U\in S}(X\backslash U)\neq \emptyset \qquad (*)}$

Xét họ

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{X\backslash U\,|\,U\in O\}}$

Do ${\displaystyle (*)}$ nên ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ có tính giao hữu hạn.

${\displaystyle \bigcap _{C\in {\mathcal {F}}}C=\bigcap _{U\in O}(X\backslash U)=X\backslash \left(\bigcup _{U\in O}U\right)=\emptyset }$.Mâu thuẫn giả thiết.

Suy ra định lý được chứng minh.