Distribució de Weibull ![Gràfica de la funció de distribució de probabilitat](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Weibull_PDF.svg/325px-Weibull_PDF.svg.png) |
Funció de distribució de probabilitat ![Gràfica de la funció de distribució acumulada](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Weibull_CDF.svg/325px-Weibull_CDF.svg.png) |
Tipus | exponentiated Weibull distribution (en) , Distribució generalitzada de valors extrems, regression model (en) , distribució univariant i distribució de probabilitat contínua ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Epònim | Waloddi Weibull ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Paràmetres | escala
forma |
---|
Suport | ![{\displaystyle x\in [0,+\infty )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7825a65e5be6c8a35a11eca156c1d69947afe3ca) |
---|
fdp | ![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c977e84ffb071a505f8614469e75829521fe3c3e) |
---|
FD | ![{\displaystyle {\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa9692fdd1047d8ca964803654f4e3d1971f619) |
---|
Esperança matemàtica | ![{\displaystyle \lambda \,\Gamma (1+1/k)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5fcff3ff516836a57147e75a081078fae9309e) |
---|
Mediana | ![{\displaystyle \lambda (\ln 2)^{1/k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebc9bce539d77c38ca468b0a4f430b06fe73d77) |
---|
Moda | =![{\displaystyle {\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{1/k}\,&k>1\\0&k\leq 1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7820c20e30aa82e4505da5db3f9eee517d1ce45) |
---|
Variància | ![{\displaystyle \lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fa6b5cdbe81bb9e6aa0452a2c619623cb23f14) |
---|
Coeficient de simetria | ![{\displaystyle {\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4687dd1de1cc08d3945ffb23108a6b84299e7e2) |
---|
Curtosi | (veure text) |
---|
Entropia | ![{\displaystyle \gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda93c629aa3570a4a93b4b06c17de5aa169da0f) |
---|
FC | ![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e10044b884683e5083847ccb8aa3df64f990b2) |
---|
Mathworld | WeibullDistribution ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució de Weibull[1] (batejada en honor de Waloddi Weibull) és una distribució de probabilitat contínua.
La distribució de Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduir exactament la distribució exponencial quan k=1. Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.
La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:
- Un risc decreixent suggereix "mortalitat infantil". És a dir, els ítems defectuosos fallen al principi i per tant a mesura que avança el temps només queden els ítems no defectuosos, i el risc de fallida disminueix.
- Un risc constant suggereix que no hi ha ítems defectuosos, i que els ítems no es desgasten amb el temps.
- Un risc creixent indica que els ítems es desgasten, i per tant a mesura que avança el temps augmenta el risc d'una fallida.
Caracterització
Funció de probabilitat de densitat
La seva funció de densitat de probabilitat és
![{\displaystyle f(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188db000c346f69084f7d85f68d8e4c2b46ed40d)
per a
i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on
és el paràmetre de forma i
és el paràmetre d'escala.
Funció de distribució
La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.
Funció de risc
Propietats
Mitjana:
Mediana:
Moda:
if
Variància:
Asimetria:
Moment d'ordre n:
, on
és la funció Gamma.
Generalització
Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de densitat de probabilitat és:
![{\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6468f4da4c9961cd98b803c4d57dcbad8c98c1cc)
per a
i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on
és el paràmetre de forma,
és el paràmetre d'escala i
és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.
La funció de distribució és
![{\displaystyle F(x;k,\lambda ,\theta )=1-e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7aa3ae92c58c4390e1f4f0c923cfed3b335831d)
per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.
Generació de valors aleatoris
Donada una observació aleatòria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores
![{\displaystyle X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b629fac3467035fdac6598979c29f6dfea3e20b)
segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.
Distribucions relacionades
és una distribució exponencial si
.
és una distribució de Rayleigh si
.
segueix una distribució de Weibull si
. - Si X segueix una distribució de Weibull, 1/X segueix una distribució de Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat
![{\displaystyle f(x;k,\lambda )=(k/\lambda )(\lambda /x)^{(k+1)}e^{-(\lambda /x)^{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e0536d14077eaf88348641bd50a0f91d88e1cf)
- Vegeu també la distribució generalitzada del valor extrem.
Referències
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució de Weibull
- ↑ Weibull, W. (1951) "A statistical distribution function of wide applicability" J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18(3), 293-297
|
---|
|
Distribucions discretes amb suport finit | |
---|
Distribucions discretes amb suport infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades en tota la recta real | |
---|
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus | |
---|
Barreja de distribució variable-contínua | |
---|
Distribució conjunta | |
---|
Direccionals | |
---|
Degenerada i singular | |
---|
Famílies | |
---|