Délka je v matematice vlastnost, kterou lze přiřadit úsečkám, křivkám a jejich parametrizacím. Jedná se o matematickou abstrakci fyzikálních pojmů délky nebo dráhy.
Délka úsečky
Nechť jsou
a
dva body v (dvourozměrné) rovině (
) s kartézskými souřadnicemi
a
. Pak je délka úsečky
podle Pythagorovy věty
![{\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52f796b1b0ab3d17645e559d1ee04a22f2a082a)
V trojrozměrném prostoru (
) se souřadnicemi
a
podobně platí
![{\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3f88900cb6a2d1b2b721a475b1bade81998b6a)
To lze analogicky rozšířit i na vyšší dimenze – počet sčítanců pod odmocninou odpovídá dimenzi prostoru, v němž úsečku uvažujeme. V zásadě lze tyto vzorce zobecnit dvěma způsoby:
- Buď interpretujeme délku úsečky
jako délku vektoru
a definujeme délky pro vektory. Odpovídající zobecněný koncept délky pro vektory se nazývá norma. - Ještě obecněji můžeme uvažovat místo délek vektorů libovolný (v jistém smyslu rozumný) předpis, který dvojici bodů přiřadí vzdálenost mezi nimi. Takovým nejobecnějším vzdálenostem se říká metriky.
Délky parametrizovaných křivek
Parametrizace (parametrizovaná křivka) je spojité zobrazení
z intervalu do topologického prostoru
. Aby jí bylo možné přiřadit délku, musí mít tento prostor další strukturu. V nejjednodušším případě je
rovina
nebo trojrozměrný prostor
s obvyklou definicí délky úseček; zobecnění je možné pro Riemannovy prostory nebo jakékoli metrické prostory. Délku parametrizace
označme
.
V rovině a v třírozměrném prostoru
Parametrizace v rovině nebo v prostoru je dána dvěma nebo třemi souřadnicovými funkcemi:
nebo
pro
.
Pro parametrizace, které jsou po částech spojitě diferencovatelné, je délka definována integrálem po celém rozpětí parametru:
nebo ![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6393c7bd527f9918b3c2c5d02bef8cc7611bf09e)
Motivace
Rovinná křivka parametrizovaná jako
se dá aproximovat krátkými úsečkami
, který jsou určeny dvěma složkami
a
rovnoběžnými s osami souřadnic. Podle Pythagorovy věty je
, jak bylo popsáno výše. Celková délka křivky je přibližně rovna součtu všech přímek:
![{\displaystyle L\approx \sum \Delta s=\sum {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\sum {\sqrt {\left({\frac {\Delta x}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta y}{\Delta t}}\right)^{2}}}\Delta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e438e61704c92b417718e36ec7c5aa0d89d1c2)
Pokud předpokládáme konvergenci výrazu pro
jdoucí k nule, pak je délka
součet všech infinitesimálně malých přímek, takže:
.
Fyzikálně (kinematicky) lze integrand také chápat jako příspěvek okamžité rychlosti tělesa pohybujícího se po zkoumané dráze a integrační proměnnou jako čas. To je asi nejsrozumitelnější motivace této definice délky parametrizace.
Příklady
Kruh s poloměrem
pro ![{\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc01113133d5e7f6342e1a4d738e0d84e57b54d)
- má délku
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\ \mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{2\pi }r\,\mathrm {d} t=2\pi r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b981158aeac5b2e8607b69a994296018223a93a)
- Při úpravě integrandu se využilo to, že součet čtverců sinu a kosinu stejného argumentu je roven jedné.
Úsek šroubovice s poloměrem
a výškou závitu
![{\displaystyle t\mapsto \left(r\cdot \cos t,\ r\cdot \sin t,\ {\tfrac {h}{2\pi }}\cdot t\right)\quad {\text{pro}}\;0\leq t\leq 2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baee0e06912390b1012835494dd307492d24b373)
- má délku
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t+\left({\frac {h}{2\pi }}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} t&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {h}{2\pi }}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&={\sqrt {(2\pi r)^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8fc56290ac22d3a372eb878a27919488382cb2)
Speciální případy
Délka grafu funkce
Mějme funkcí
spojitě diferencovatelnou na
; délka
grafu této funkce mezi body
a
se vypočítá:
![{\displaystyle L(a,b)=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\;\mathrm {d} x\qquad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8af15ec4256a8d6405c2c62c83e36fa43040c48)
- protože můžeme použít parametrizaci
pro
.
Příklad: Obvod kruhu lze určit pomocí
takto: Kružnice s poloměrem
splňuje rovnici
neboli
Derivace je:
.
Použitím vzorce
máme:
![{\displaystyle L=2\int \limits _{-1}^{1}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,\mathrm {d} x=2r\int \limits _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,=2r\arcsin(1)-2r\arcsin(-1)=2\pi r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef88e31ebe4b05e88f56a0addb163fca005f1b7)
Polární souřadnice
Mějme rovinnou křivku v polárních souřadnicích
, tedy
pro
,
přičemž podle pravidla pro derivaci součinu dostaneme
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b5910222d2cd528ca4133fdcaf070bf795ca24)
a
,
takže
.
Délka křivky parametrizované v polárních souřadnicích je proto
.
Riemannovy prostory
Je-li obecně
po částech diferencovatelná křivka v Riemannově prostoru, lze její délku
definovat jako
![{\displaystyle L(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2479742d504fe9764b5029560bd4bc34067563e2)
Obecné metrické prostory
Buď
metrický prostor a
parametrizace v
. Pak se
nazývá rektifikovatelná, pokud je supremum
![{\displaystyle L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=0}^{k-1}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1}))\right|k\in \mathbb {N} ,0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{k-1}<t_{k}=1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f109c97d0f6eb0f5ccb2f044fbf5745f547fba31)
konečné. V tomto případě se
říká délka parametrizace
.
Délka rektifikovatelné parametrizované křivky je proto supremem délek všech aproximací této křivky pomocí lineárních segmentů. U výše popsaných diferencovatelných parametrizací se obě definice délky shodují.
Existují spojité křivky, které nelze rektifikovat, například Kochova křivka nebo jiné fraktály, křivky vyplňující prostor a skoro jistě realizace Wienerova procesu. Takovým křivkám se také říká křivky nekonečné délky.
Slovo rektifikovat znamená narovnat, to znamená vzít křivku (vlákno) na koncích, roztáhnout je od sebe a natáhnout ji tak, abychom dostali úsečku, jejíž délku můžete měřit přímo.[1]
Délky křivek
Definice
K parametrizaci
náležející obraz (množina všech bodů, na které se parametr promítne)
se nazývá křivka (také stopa parametrizace
). Naopak
se nazývá nebo parametrizace křivky
. Dvě různé parametrizace mohou definovat stejnou křivku a naopak danou křivku lze parametrizovat prostřednictvím různých parametrizací. Je logické definovat délku křivky jako délku přidružené parametrizace; ale to předpokládá, že pro každou parametrizaci dostaneme stejnou hodnotu. To je intuitivně jasné a ve skutečnosti to může být ukázáno pro injektivní (prostou) parametrizaci. Konkrétně platí:
Buďte
a
dvě injektivní parametrizace stejné křivky
, tj.
. Pak
.
Parametrizace délkou oblouku
Jak již bylo řečeno, pro křivku existují různé parametrizace. Speciální parametrizací je parametrizace podle délky oblouku (nebo délky dráhy - obloukem se myslí parametrizace, která měří délku vykonané dráhy), označovaná také jako přirozená parametrizace křivky.
Nechť je
rektifikovatelná křivka s parametrizací
![{\displaystyle {\begin{matrix}\gamma :&[a,b]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&\tau &\mapsto &\gamma (\tau )\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eaaf7857d9c2a8e4d9a7efb9dcb98739b57e074)
a
pro
její úsek s parametrizací
, tak se funkce
![{\displaystyle {\begin{matrix}s:&[a,b]&\to &\mathbb {R} \\&t&\mapsto &L\left(\Gamma _{t}\right)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527f5c2f36b17b51014bdf0e40a7d09a657f8f7d)
nazývá oblouk křivky
. Tato funkce
spojitě a monotónně roste, pro
prosté je dokonce ostře monotónně rostoucí, a proto také bijektivní, takže existuje inverzní funkce
. Funkce
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {\gamma }}:&[0,L(\gamma )]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&s&\mapsto &\gamma (t(s))\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bdbaf9a7746addda2d3f98c0f144df69a316d29)
se označuje jako parametrizace
délkou oblouku.
Je-li
spojitě diferencovatelná a
pro všechna
, zvláštností parametrizace délkou oblouku to, že také
je spojitě diferencovatelná a pro každé
je
![{\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} {\hat {\gamma }}(s)}{\mathrm {d} s}}\right\|=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a691bb5129356ee5e3c33205a59349320d69c2)
Parametrizaci délkou oblouku tedy můžeme chápat jako tu parametrizaci, při které se daná křivka vykresluje konstantní jednotkovou rychlostí.
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Länge (Mathematik) na německé Wikipedii.
- ↑ HEUSER, HARRO 1927-2011. Lehrbuch der Analysis Teil 2.. 5., durchges. Aufl. vyd. Wiesbaden: [s.n.] 736 S s. Dostupné online. ISBN 978-3-519-42222-8, ISBN 3-519-42222-0. OCLC 263149494
Externí odkazy