Diagonální matice

V lineární algebře je diagonální matice čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové. Diagonální matice jsou určeny výhradně prvky na hlavní diagonále a tyto prvky mohou být i nulové.

U diagonálních matic se součin a inverze počítá snadněji než u obecných matic. Je-li lineární zobrazení reprezentováno na vektorovém prostoru konečné dimenze pomocí diagonální matice, pak vlastní čísla zobrazení jsou prvky na diagonále.

V geometrii lze diagonální matici použít jako matici škálování, protože příslušný součin vede ke změně měřítka ve směru jednotlivých os. Součin s tzv. skalární maticí vede k rovnoměrné změně měřítka.

Čtvercová matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ nad tělesem ${\displaystyle T}$ (obvykle jde o těleso reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$)

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}}$ ,

jejíž prvky ${\displaystyle d_{ij}\in T}$ s ${\displaystyle i\neq j}$ jsou všechny rovny nule, se nazývá diagonální matice. Často se zapisuje jako:

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}}$ .

Někdy se uvedený termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku není toto zobecnění uvažováno.

Příkladem reálné diagonální matice řádu 3 je matice:

${\displaystyle \operatorname {diag} (1,4,-3)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\end{pmatrix}}}$

• Jednotková matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 1. Formálně: ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1)}$.
• Čtvercová nulová matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 0. Formálně: ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}=\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0)}$.
• Pokud se všechna čísla na hlavní diagonále diagonální matice shodují, označují se také jako skalární matice.^[1] Skalární matice jsou skalární násobky jednotkové matice ${\displaystyle \alpha \mathbf {I} _{n}=\operatorname {diag} (\alpha ,\alpha ,\dots ,\alpha )}$. Množina nenulových skalárních matic je centrem obecné lineární grupy ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$.

Každá diagonální matice je symetrická, dolní trojúhelníková a horní trojúhelníková.

• Příslušné diagonální matice tvoří komutativní podokruh okruhu čtvercových matic řádu ${\displaystyle n}$.
• Hodnost diagonální matice je rovna počtu nenulových prvků na diagonále.
• Determinant diagonální matice je součin prvků na hlavní diagonále:

  ${\displaystyle \det \left(\operatorname {diag} \left(d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n}\right)\right)=d_{1}d_{2}\dotsm d_{n}=\prod _{i=1}^{n}d_{i}}$

• Adjungovaná matice k diagonální matice je opět diagonální.
• Diagonální matice jsou symetrické, a proto se nemění transpozicí: ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {D}}}$.
• Komplexní diagonální matice jsou normální. Pokud mají reálné prvky, jsou dokonce samoadjungované.

Součet, skalární násobek a součin diagonálních matic jsou jednoduché operace:

Součet dvou diagonálních matic je diagonální a platí:

${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},b_{2}\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}\dots ,a_{n}+b_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}+b_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&a_{n}+b_{n}\end{pmatrix}}}$

Podobně pro skalární násobek diagonální matice a pro součin dvou diagonálních matic:

${\displaystyle \alpha \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=\operatorname {diag} (\alpha a_{1}b_{1},\alpha a_{2},\dots ,\alpha a_{n})={\begin{pmatrix}\alpha a_{1}&0&\cdots &0\\0&\alpha a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\alpha a_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}b_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&a_{n}b_{n}\end{pmatrix}}}$

Součin matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ zleva s diagonální maticí řádu ${\displaystyle m}$ odpovídá vynásobení řádků ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ příslušnými prvky na diagonále:

${\displaystyle {\boldsymbol {DA}}=\operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{m}){\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}\\&\ddots \\&&d_{m}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}a_{11}&\dots &d_{1}a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\d_{m}a_{m1}&\dots &d_{m}a_{mn}\end{pmatrix}}}$

Součin matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ zprava s diagonální maticí řádu ${\displaystyle n}$ zprava odpovídá násobení sloupců ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ prvky na diagonále:

${\displaystyle {\boldsymbol {AD}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}\operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d_{1}\\&\ddots \\&&d_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}a_{11}&\dots &d_{n}a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\d_{1}a_{m1}&\dots &d_{n}a_{mn}\end{pmatrix}}}$

Diagonální matice je regulární právě když jsou všechny prvky na diagonále nenulové. Inverzní matice je pak dána předpisem:

${\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})^{-1}=\operatorname {diag} \left(d_{1}^{-1},d_{2}^{-1},\dots ,d_{n}^{-1}\right)}$

Pro pseudoinverzi jakékoli diagonální matice platí následující:

${\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})^{+}=\operatorname {diag} (d_{1}^{+},d_{2}^{+},\dots ,d_{n}^{+})}$

kde ${\displaystyle d_{i}^{+}=d_{i}^{-1}}$ pro ${\displaystyle d_{i}\neq 0}$, a v ostatních případech ${\displaystyle d_{i}^{+}=0}$. Při známém singulárním rozkladu lze pseudoinverzní ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{+}}$ velmi efektivně vypočítat ze vztahu: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{+}={\boldsymbol {V}}\Sigma ^{+}{\boldsymbol {U}}^{\mathrm {T} }}$.

Vlastní čísla diagonální matice ${\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})}$ jsou ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}}$, přičemž příslušné vlastní vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{n}}$ tvoří standardní bázi prostoru ${\displaystyle T^{n}}$.

Uvedený fakt vyplývá z výše uvedeného pravidla pro součin s diagonální maticí zleva, protože rovnice ${\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}=\lambda {\boldsymbol {x}}}$ pro určení vlastních čísel a vektorů se bezprostředně redukuje na vztah ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {e}}_{i}=d_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}$.

Diagonální matice se vyskytují v mnoha oblastech lineární algebry. Vzhledem k výše uvedenému jednoduchému popisu maticových operací a vlastních čísel a vlastních vektorů je obvykle vhodné nalézt reprezentaci např. lineárního zobrazení pomocí diagonální matice.

Čtvercová matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ se nazývá diagonalizovatelná, je-li podobná diagonální matici ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {A}}}$, čili pokud existuje regulární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ taková, že platí: ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}^{-1}{\boldsymbol {AS}}}$ (ekvivalentně: ${\displaystyle {\boldsymbol {SD}}_{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {AS}}}$). Lze dokázat, že matice řádu ${\displaystyle n}$ je diagonalizovatelná, právě když má ${\displaystyle n}$ lineárně nezávislých vlastních vektorů.

V tělese reálných nebo komplexních čísel lze navíc dokázat, že každá normální matice je unitárně podobná diagonální matici (pokud ${\displaystyle {\boldsymbol {AA}}^{*}={\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}}}$, pak existuje unitární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ taková, že ${\displaystyle {\boldsymbol {UAU}}^{*}}$ je diagonální). Dále, ze singulárního rozkladu navíc vyplývá, že pro libovolnou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ existují unitární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$ takové, že ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{*}{\boldsymbol {AV}}}$ je nezáporná diagonální matice.

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Diagonalmatrix na německé Wikipedii a Diagonal matrix na anglické Wikipedii.

• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

• Antidiagonální matice
• Bloková diagonální matice
• Pásmová matice