V matematice je inverzní matice,[1]reciproká matice nebo zkráceně inverze k dané regulární matici taková matice, která při součinu s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní matice k matici se značí .[2] Ne každá čtvercová matice má svou inverzi; invertibilní matice se nazývají regulární matice. Regulární matice reprezentují bijektivní lineární zobrazení a inverzní matice pak odpovídají inverzním zobrazením. Množina regulárních matic pevné velikosti tvoří obecnou lineární grupu s maticovým součinem jako grupovou operací. Inverzní matice je pak odpovídají inverzním prvkům v této grupě.
Je-li regulární matice se prvky z okruhu s jednotkovým prvkem (v praxi jde obvykle o tělesoreálných čísel ), pak odpovídající inverzní maticí je matice , pro kterou platí:
,
kde binární operací je maticový součin a symbol značí jednotkovou matici stejného řádu jako má matice . Je-li je komutativní okruh, těleso nebo i komutativní těleso, jsou obě podmínky ekvivalentní, to znamená, že pravá inverzní matice je zároveň levá inverzní a naopak.
Množina regulárních matic pevného řádu nad okruhem s jednotkovým prvkem a s maticovým součinem jako binární (ne nutně komutativní) operací tvoří grupu, nazývanou obecnou lineární grupu. Jednotková matice je jejím neutrálním prvkem a inverzní matice odpovídají inverzním prvkům. Inverzní matice jednoznačně definovaná a je inverzní zleva i zprava. Jednotková matice je inverzní sama k sobě:
Inverze k inverzní matici je opět původní matice:
Matice a se proto nazývají navzájem inverzní. Součin dvou regulárních matic je opět regulární a inverze součinu je součinem příslušných inverzí, ale v opačném pořadí:
Pokud lze matici reprezentovat jako součin snadno invertovatelných matic, lze inverzní matici součinu několika matic určit pomocí obecného vzorce:
pro . Vztah platí i pro inverzi mocniny matice:
Uvedená matice se obvykle značí .
Vlastnosti matic nad tělesy
Pro inverzní matici s prvky z tělesa platí navíc i následující vlastnosti:
Pro inverzi násobku matice nenulovým skalárem platí:
Je vlastní číslo matice příslušné vlastnímu vektoru, pak je vlastní číslo inverzní matice a přísluší stejnému vlastnímu vektoru . Uvedený vztah lze geometricky interpretovat tak, že směr vektoru zůstává zachován při zobrazení odpovídajícímu matici i při jemu inverznímu zobrazení odpovídajícímu .
Invarianty
Některé regulární matice si při inverzi zachovávají své další vlastnosti, například:
V následujících odstavcích se pro jednoduchost předpokládá, že prvky matice náleží komutativnímu tělesu, aby bylo vždy možné provést příslušné aritmetické operace.
Hledaná inverzní matice je řešením maticové rovnice :
Výpočet -tého sloupce inverzní matice odpovídá vyřešení soustavy lineárních rovnic , kde na pravé straně je -tý vektor přirozené báze. Inverzní matici lze pak sestavit ze sloupců předpisem:
Postup
Inverzní matici lze efektivně spočítat pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace. Hlavní myšlenkou postupu je řešit soustav lineárních rovnic současně. K tomuto účelu se nejprve matice koeficientů rozšíří o jednotkovou matici na blokovou matici:
V tomto okamžiku je možné rozhodnout, zda má inverzní matici. Matice je invertibilní, právě když matice neobsahuje nulu na hlavní diagonále. V takovém případě lze matici nejprve převést na diagonální tvar pomocí dalších elementárních řádkových úprav a poté ji vhodným škálováním řádků převést na jednotkovou matici. Výsledný tvar blokové matice je:
,
kde na pravé straně je hledaná inverzní matice .
Ukázky
Inverzní matice k reálné matici
lze získat následujícím provedením Gaussovy–Jordanovy eliminace:
Nejprv je eliminována pod diagonálou, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku od druhého řádku. Potom je eliminována nad diagonálou, což se provede přičtením dvojnásobku druhého řádku k prvnímu řádku. V posledním kroku je pak druhý diagonální prvek normalizován na jedničku, což znamená, že se druhý řádek se vynásobí . Inverzní maticí k je:
Inverzní matice k reálné matici
lze získat následujícím provedením Gaussovy–Jordanovy eliminace: Nejprve jsou eliminovány dvě v prvním sloupci, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku. Nyní je druhý prvek na diagonále roven , proto se druhý řádek se zamění za třetí, což vede na horní trojúhelníkovou matici:
.
Získaná matice je regulární, stejně jako . Nyní zbývá eliminovat nad diagonálou, což se provede přičtením dvou třetin druhého řádku k prvnímu, a druhý řádek vydělit :
.
Inverzní matice k je:
Korektnost
Fakt, že Gaussova–Jordanova eliminace poskytuje inverzní matici, lze dokázat následovně: Jsou-li elementární matice, se kterými matice se pomocí elementárních úprav převede na jednotkovou matici označeny , pak platí:
Nyní lze obě strany této rovnosti vynásobit zprava maticí , což dává:
Je-li matice převedena na jednotkovou matici vynásobením zleva několika elementárními maticemi, pak jednotková matice vynásobená stejnou posloupností elementárních matic dává inverzní matici .
Numerické záležitosti
Pro zvýšení numerické přesnosti se při výpočtech na počítačích provádí obvykle pivotace prvků.
Výpočet inverze k matici řádu Gaussovou–Jordanovou eliminací má časovou složitost .
Uvedený postup umožňuje přímý výpočet každého z prvků inverzní matice. Matice má v -tém řádku a -tém sloupci prvek , kde je submatice získaná z matice vynecháním -tého řádku a -tého sloupce.
Vztah vyplývá z Cramerova pravidla, pomocí nějž lze přímo zapsat řešení soustavy :
,
kde matice vznikne nahrazením -tého sloupce vektorem . Laplaceův rozvoj determinantu v čitateli podle -tého sloupce vede ke vztahu:
,
kde značí podmatici matice vzniklou odstraněním -tého řádku a -tého sloupce (pozor na záměnu pořadí indexů a ). Subdeterminanty jsou také nazývány minory určené maticí . Čísla
se nazývají kofaktory matice a dohromady tvoří kofaktorovou matici. Transpozice kofaktorové matice se nazývá adjungovaná matice k matici a značí se . Pomocí adjungované matice lze inverzní matici zapsat vztahem:
Uvedený vzorec platí i pro matice s prvky z komutativního okruhu s jednotkou za předpokladu, že je jednotkou v daném okruhu.
Vzorce pro matice řádů 2 a 3
Pro matice řádu 2 platí vzorec:
Pro matice řádu 3 lze odvodit vzorec:
,
kde lze vyjádřit např. pomocí Sarrusova pravidla. Uvedeným způsobem lze odvodit vzorce pro inverzi matic vyšších řádů. Jejich zápis i výpočet jsou však příliš složité, a proto se neužívají.
Ukázky
Inverzní matice k následující reálné matici řádu 2 je:
Inverzní matice k následující reálné matici řádu 3 je:
Výpočetní složitost
Za předpokladu, že výpočet determinantu matice řádu vyžaduje aritmetických operací, a každý z prvků adjungované matice by byl počítán separátně, by uvedený výpočet inverze matice řádu měl časovou složitost .
Inverze blokové matice
Je-li dána bloková čtvercová matice kde i Schurův doplněk matice v jsou regulární matice, pak je také regulární matice a platí pro ni:
Z uvedeného vztahu lze vyjádřit inverzní matici:
Jsou-li naopak i Schurův doplněk matice v regulární, pak platí:
a pro inverzní matici: [3]
Uvedené vzorce lze využít k paměťově efektivnímu výpočtu inverzí matic velkých rozměrů.[4]
Charakteristický polynom
Inverzní matici lze vyjádřit i pomocí charakteristického polynomu. Je-li regulární čtvercová matice a je její charakteristický polynom, pak platí:
Dosazení matice do polynomu je obdobou dosazení reálného čísla s tím rozdílem, že se používají maticové operace pro součet, násobek i mocninu. značí jednotkovou matici řádu .
Vztah vyplývá z Cayleyho–Hamiltonovy věty, která tvrdí, že dosazení matice do svého charakteristického polynomu má vždy za výsledek nulovou matici:
Ukázka
Charakteristický polynom matice řádu 3 je kubický polynom .
Dosazení do vzorce dává:
Numerické záležitosti
Obecně se v numerické matematice soustavy lineárních rovnic tvaru s regulární neřeší pomocí inverzní matice
,
ale pomocí speciálních metod pro soustavy lineárních rovnic (viz Numerická lineární algebra). Metoda výpočtu pomocí inverze je nejen mnohem složitější, ale i méně stabilní. Zejména pro velmi velké matice se pak používají aproximační metody. Možným přístupem je Neumannova řada, která aproximuje inverzní matici pomocí nekonečné řady
za předpokladu, že řada konverguje. Částečný součet řady poskytuje přibližnou hodnotu inverzní matice. Pro speciální matice, jako jsou pásmové matice nebo Toeplitzovy matice, existují i jiné účinné metody výpočtu inverze.
Použití
Řešení lineárních algebraických rovnic
Inverzní matici lze využít k řešení některých lineárních algebraických rovnic s maticemi.
Je-li matice regulární, pak řešení rovnice lze popsat přímo vztahem .
Speciální matice
Pomocí inverzní matice lze charakterizovat následující třídy matic:
U samoinverzních matic je inverze rovna původní matici: ,
kde představuje identické zobrazení. Pro matice zobrazení (vzhledem k pevně zvoleným bázím prostorů a ) pak platí vztah:
Matice inverzního zobrazení je inverzní k matici původního zobrazení.
Duální báze
Je konečně-rozměrný vektorový prostor nad tělesem , pak odpovídající duální prostor je vektorový prostor lineárních funkcionálů . Je-li báze prostoru , pak odpovídající duální bázi prostoru lze charakterizovat pomocí Kroneckerova delta:
,
kde . Jestliže je matice složená z vektorů souřadnic vektorů , pak odpovídající duální matice splňuje:
Matice souřadnic vektorů duální báze je tedy inverzní maticí k matici souřadnic vektorů primární báze.
Jiné aplikace
Inverzní matice se také používají v lineární algebře, mimo jiné:
Ve vztazích ekvivalence, například podobnost a ekvivalence matic,