Clausura reflexiva

Sea ${\displaystyle R}$ una relación binaria aplicada sobre un conjunto ${\displaystyle A}$, la clausura reflexiva o cierre reflexivo de ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, denotada ${\displaystyle CR({\mathcal {R}})}$, es la relación reflexiva más pequeña aplicada sobre ${\displaystyle A\,}$ que contiene a ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$.

En otras palabras, ${\displaystyle CR({\mathcal {R}})}$ es la relación binaria que verifica:

1. ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq CR({\mathcal {R}})}$
2. ${\displaystyle CR({\mathcal {R}})}$ es reflexiva
3. Si ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ es una relación reflexiva tal que ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {R}}'}$, entonces ${\displaystyle CR({\mathcal {R}})\subseteq {\mathcal {R}}'}$

Nótese que si ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es reflexiva, entonces ${\displaystyle CR({\mathcal {R}})={\mathcal {R}}}$.

Si la relación está dada por su matriz booleana asociada, la clausura reflexiva se obtiene completando con 1 la diagonal principal.

Esta última sería la matriz asociada la clausura reflexiva. A partir de esta matriz la relación ${\displaystyle CR({\mathcal {R}})}$ se construye trivialmente.

Como ejemplo, si $${\displaystyle X=\{1,2,3,4\}}$$ $${\displaystyle R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}}$$ entonces la relación ${\displaystyle R}$ ya es reflexiva en sí misma, por lo que no difiere de su cierre reflexivo.

Sin embargo, si alguno de los pares en ${\displaystyle R}$ estuviera ausente, se insertaría para el cierre reflexivo. Por ejemplo, si en el mismo conjunto ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle R=\{(1,1),(2,2),(4,4)\}}$$ entonces el cierre reflexivo es $${\displaystyle S=R\cup \{(x,x):x\in X\}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}.}$$

• Clausura simétrica
• Clausura transitiva