Conjunto estacionario

En teoría de conjuntos y en teoría de modelos existen tres nociones diferentes de conjunto estacionario:

• Los conjuntos estacionarios clásicos.
• Los conjuntos estacionarios de Jech.
• Los conjuntos estacionarios generalizados.

Si ${\displaystyle \kappa \,}$ es un cardinal con cofinalidad no numerable, ${\displaystyle S\subseteq \kappa \,,}$ y ${\displaystyle S\,}$ se interseca con cada conjunto club de ${\displaystyle \kappa \,,}$ entonces ${\displaystyle S\,}$ se denomina conjunto estacionario. Si un conjunto no es estacionario, entonces se denomina conjunto delgado. Esta noción no debe confundirse con la de conjunto delgado en teoría de números.

Si ${\displaystyle S\,}$ es un conjunto estacionario y ${\displaystyle C\,}$ es un conjunto club, entonces su intersección ${\displaystyle S\cap C\,}$ también es estacinaria. Porque si ${\displaystyle D\,}$ es cualquier conjunto club, entonces ${\displaystyle C\cap D\,}$ es un conjunto club porque la intersección de dos conjuntos club es también un conjunto club. Así ${\displaystyle (S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)\,}$ es no vacío. Por lo tanto, ${\displaystyle (S\cap C)\,}$ debe ser estacionario.

La restricción a una cofinalidad no numerable se hace para evitar casos triviales: Supóngase que tiene un cofinalidad ${\displaystyle \kappa }$ numerable. Entonces${\displaystyle S\subset \kappa }$ es estacionario en ${\displaystyle \kappa }$ si y solo si ${\displaystyle \kappa \setminus S}$ está acotado en ${\displaystyle \kappa }$. En particular, si la cofinalidad de ${\displaystyle \kappa }$ es ${\displaystyle \omega =\aleph _{0}}$, entonces cualesquiera dos conjuntos estacionarios de ${\displaystyle \kappa }$ tienen intersección estacionaria.

Si se introduce la restricción de cofinalidad no numerable entonces lo último deja de ser certo. De hecho, supóngase que ${\displaystyle \kappa }$ es un cardinal regular y ${\displaystyle S\subset \kappa }$ es estacionario. En ese caso ${\displaystyle S}$ puede ser particionado en ${\displaystyle \kappa }$ conjuntos estacionarios disjuntos. Este resultado se debe a R. M. Solovay. Para ${\displaystyle \kappa }$ cardinal sucesor, este resultado fue demostrado por S. M. Ulam y se demuestra fácilmente con el auxilio de la matriz de Ulam.

Existe otra noción diferente de conjunto estacionario debida a Thomas Jech. Dado un conjunto ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$, siendo ${\displaystyle \lambda }$ un cardinal y ${\displaystyle X}$ un conjunto tal que su cardinal ${\displaystyle |X|\geq \lambda }$, donde ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ denota el conjunto de conjuntos de ${\displaystyle X}$ cardinalidad ${\displaystyle \lambda }$: ${\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subset X:|Y|=\lambda \}}$. Como en el caso de un conjunto estacionario clásico, ${\displaystyle S\subset [X]^{\lambda }}$ es estacionario si y solo si se interseca con cada conjunto club de ${\displaystyle [X]^{\lambda }}$ y es no acotado bajo ${\displaystyle \subset }$ y cerrado bajo la unión de cadenas de longitud inferior a ${\displaystyle \lambda }$.

Esta definición en general no es equivalente de conjunto estacionario clásico, aunque para ${\displaystyle X=\omega _{1}}$ y ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$ ambas coinciden en el sentido de que ${\displaystyle S\subset [\omega _{1}]^{\omega }}$ es estacionario si y solo si ${\displaystyle S\cap \omega _{1}}$ es estacionario en ${\displaystyle \omega _{1}}$. En este caso también se cumple una versión moficada del lema de Fodor.

• Matthew Foreman, Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory, in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI. 2002 pp. 73–94 (Archivo disponible aquí)

• Stationary set en PlanetMath.