Constante omega

La constante omega de Lambert es una constante matemática definida como el único número que pertenece a los números reales que satisface la ecuación:

Ω e Ω = 1. {\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1.}

La constante omega es el valor de W(1), donde W es la función W de Lambert . Ω= W(1)

Este nombre proviene de "La función Omega", la cual es un nombre alternativo para la función W de Lambert . El valor numérico de Ω es :

Ω = 0.567143290409783872999968662210... (secuencia A030178 en la OEIS).
1/Ω = 1.763222834351896710225201776951... (secuencia A030797 en la OEIS).

Propiedades

Representación de punto fijo

La identidad definitoria se puede expresar, por ejemplo, como ln ⁡ ( 1 Ω ) = Ω . {\displaystyle \ln({\tfrac {1}{\Omega }})=\Omega .}

e − Ω = Ω . {\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega .} − ln ⁡ ( Ω ) = Ω {\displaystyle -\ln(\Omega )=\Omega }

Cálculo

Ω puede calcularse de forma iterativa, empezando con una estimación inicial Ω0 y considerando la secuencia

Ω n + 1 = e − Ω n . {\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.}

Esta secuencia converge a Ω mientras n se acerca al infinito, ya que Ω es un punto fijo atractivo de la función e−x .

Es mucho más eficiente usar la iteración

Ω n + 1 = 1 + Ω n 1 + e Ω n , {\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},}

ya que la función

f ( x ) = 1 + x 1 + e x , {\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},}

además de tener el mismo punto fijo, su derivada se desvanece en ese punto. Esto garantiza una convergencia cuadrática; es decir, el número de dígitos correctos con cada iteración se duplica aproximadamente.

Usando el método de Halley, Ω se puede aproximar con convergencia cúbica (el número de dígitos correctos con cada iteración se triplica aproximadamente): (ver también Función W de Lambert ).

Ω j + 1 = Ω j − Ω j e Ω j − 1 e Ω j ( Ω j + 1 ) − ( Ω j + 2 ) ( Ω j e Ω j − 1 ) 2 Ω j + 2 . {\displaystyle \Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\Omega _{j}+2}}}}.}

Representaciones integrales

La constante omega se puede representar como la siguiente integral indefinida dada por Victor Adamchik[cita requerida]:

∫ − ∞ ∞ d t ( e t − t ) 2 + π 2 = 1 1 + Ω . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}.}

Otras relaciones por Mező y Kalugin-Jeffrey-Corless son:

Ω = 1 π Re ⁡ ∫ 0 π log ⁡ ( e e i t − e − i t e e i t − e i t ) d t , {\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt,}
Ω = 1 π ∫ 0 π log ⁡ ( 1 + sin ⁡ t t e t cot ⁡ t ) d t . {\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}

Las dos últimas identidades se pueden extender a otros valores de la función W (ver también Función W de Lambert: Representaciones).

Trascendencia

La constante Ω es trascendental . Esto se puede interpretar como una consecuencia directa del teorema de Lindemann-Weierstrass .

Si por contradicción, suponemos que Ω es algebraico. Según este teorema, e−Ω es trascendental, pero sabemos que Ω = e−Ω. Esto es una contradicción. Por tanto, debe ser trascendental.


Enlaces externos

  • Weisstein, Eric W. «Omega Constant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  • 1.000.000 de dígitos de la Constante Omega:, consultado el 25 de diciembre de 2017 .