En matemáticas, el Criterio de condensación de Cauchy es una prueba de convergencia para una serie infinita, que toma su nombre de Augustin Louis Cauchy, matemático francés. Sea
![{\displaystyle {a_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac09962f4da3f2f7680200c75fc5c69a91700ae)
una serie monótona de números positivos decrecientes, entonces
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b7b853fa64c49d68d218492510fbc9ff5dacbd)
converge si y sólo si la serie
converge. Por otra parte, en este caso tenemos
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7991bcff6189abd5fcfa30dcdf6a442908dc6ec)
Una visión geométrica es que nos aproximamos a la suma de trapecios en cada
. Otra explicación es que, como en la analogía entre las sumas finitas e integrales, la "condensación" de los términos es análoga a una sustitución de una función exponencial. Esto se hace más evidente en ejemplos como
![{\displaystyle \ f(n)=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598a50a1550f0364ce4615a77a16f4316c3e9853)
Aquí las series definitivamente convergen para un a > 1, y diverge para a < 1. Cuando a = 1, el criterio de transformación esencialmente da la serie
![{\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6fc9994b5fd7ee36f049a25f61ebc1caf43d0dc)
El logaritmo 'cambia hacia la izquierda'. Así entonces para a = 1, tenemos convergencia para b > 1, divergencia para b < 1. Cuando b = 1 el valor de c es necesario.
Demostración
Sea f(n) positiva, una secuencia decreciente de números reales. Para simplificar la notación, escribiremos an = f(n). Investigaremos las series
. El criterio de condensación sigue de la observación si reunimos los términos de la serie en grupos de longitud
, cada uno de estos grupos será menor que
a
por monotonía. Observemos:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+\cdots +a_{2^{n}}+a_{2^{n}+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}+\cdots \\&=a_{1}+\underbrace {a_{2}+a_{3}} _{\leq a_{2}+a_{2}}+\underbrace {a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}} _{\leq a_{4}+a_{4}+a_{4}+a_{4}}+\cdots +\underbrace {a_{2^{n}}+a_{2^{n}+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}} _{\leq a_{2^{n}}+a_{2^{n}}+\cdots +a_{2^{n}}}+\cdots \\&\leq a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\cdots +2^{n}a_{2^{n}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9af7060eba5c354949524207874189f3ff9b95a)
Usamos el hecho que la secuencia an no es creciente, por lo tanto
siempre que
. La convergencia de la serie original ahora sigue de una directa comparación a esta serie "condensada". Para ver la convergencia de la serie original implica la convergencia de esta última, de manera similar ponemos,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}&=\underbrace {a_{1}+a_{2}} _{\leq a_{1}+a_{1}}+\underbrace {a_{2}+a_{4}+a_{4}+a_{4}} _{\leq a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}}+\cdots +\underbrace {a_{2^{n}}+a_{2^{n+1}}+\cdots +a_{2^{n+1}}} _{\leq a_{2^{n}}+a_{2^{n}}+a_{(2^{n}+1)}+a_{(2^{n}+1)}+\cdots +a_{(2^{n+1}-1)}}+\cdots \\&\leq a_{1}+a_{1}+a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}+\cdots +a_{n}+a_{n}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc98b50bdb8bdad828589dbccf875ae675faa90)
Teniendo una convergencia, nuevamente por comparación directa. Se observa que se obtiene un estimado
.
Enlaces externos
- Demostración del Criterio de condensación de Cauchy
Referencias
Control de autoridades | - Proyectos Wikimedia
Datos: Q1051423 |
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Datos: Q1051423