Fórmula de Rodrigues

En matemáticas, la fórmula de Rodrigues (antes conocida como la fórmula de Ivory-Jacobi) es una fórmula para los polinomios de Legendre introducida por Olinde Rodrigues (1816), James Ivory (1824) y Carl Gustav Jacobi (1827). El nombre de fórmula de Rodrigues fue propuesto por Eduard Heine en 1878, después de que Hermite señalase en 1865 que Rodrigues fue el primero en descubrirlo. El término también se utiliza para describir fórmulas similares para otros polinomios ortogonales. Askey (2005) describe la historia de la fórmula de Rodrigues en detalle.[1]​

Declaración

Rodrigues definió su fórmula para polinomios de Legendre: P n {\displaystyle P_{n}}

P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n [ ( x 2 − 1 ) n ] . {\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}

Los polinomios de Laguerre se escriben normalmente como L0, L1, ..., y mediante la fórmula de Rodrigues se pueden escribir:

L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( e − x x n ) = 1 n ! ( d d x − 1 ) n x n , {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}

La fórmula de Rodrigues para polinomios de Hermite nos da:

. H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 = ( 2 x − d d x ) n ⋅ 1 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1}

A fórmulas similares para otras secuencias de las funciones ortogonales que surgen de la Teoría de Sturm-Liouville, también puede aplicarse la fórmula de Rodrigues especialmente cuándo la secuencia resultante es polinómica.

Referencias

  1. ↑ Askey, Richard (2005), "The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments", in Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L., Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times, History of mathematics 28, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 105–118, ISBN 978-0-8218-3860-0
  • Ivory, James (1824), "On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis", Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society) 114: 85–150, doi:10.1098/rstl.1824.0008, JSTOR 107707
  • Jacobi, C. G. J. (1827), «Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2xz + z2)1/2 entstehen.», Journal für Reine und Angewandte Mathematik (en alemán) 2: 223-226, ISSN 0075-4102, doi:10.1515/crll.1827.2.223 .
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Olinde Rodrigues» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rodrigues/ .", O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Olinde Rodrigues» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rodrigues/ ., O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Olinde Rodrigues» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rodrigues/ . .
  • Rodrigues, Olinde (Rodrigues, Olinde (1816), «De l'attraction des sphéroïdes», Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Thesis for the Faculty of Science of the University of Paris) 3 (3): 361-385 .): 361@–385
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