En matemáticas, dado un anillo conmutativo, una función multilineal es una función de
argumentos de
espacios vectoriales respectivos. Dicha función se caracteriza por respetar la suma de vectores y la multiplicación escalar en cualquiera de las coordenadas.
Definición
Sea
un anillo conmutativo (por ejemplo
o
) y
espacios vectoriales sobre
.
Una función se dice multilineal si es lineal en cada argumento, es decir, para todo y para todo , se cumple , y,
. |
Se puede demostrar que la colección de todas las funciones multilineales de
en
es un
-espacio vectorial respecto a las operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de funciones. Dicho espacio se denota por
. Si
y
, el espacio se denota por
.
Funciones multilineales especiales
Sea
un
-espacio vectorial y
, es decir,
. En álgebra abstracta a una función como
se le llama tensor y el conjunto de tensores de
argumentos sobre el espacio vectorial
se denota por
. En otras palabras,
.
Se puede demostrar que:
|
donde
denota el espacio dual, y
denota el producto tensorial.
Tensor simétrico
Un tensor
se dice simétrico si para cada permutación
del grupo simétrico
y cualquier elemento
se cumple
. El
-espacio vectorial de todos los tensores simétricos se denota por
y obviamente,
.
Tensor antisimétrico
Un tensor
se dice antisimétrico si para cada permutación
del grupo simétrico
y cualquier elemento
se cumple
, donde
denota el signo de la permutación. El
-espacio vectorial de todos los tensores antisimétricos se denota por
y obviamente,
.
Tensor alternado
Un tensor
se dice alternado si dado
con la particularidad de que
para algún par de índices
, se tiene que
. El
-espacio vectorial de todos los tensores alternados se denota por
y
, es decir, todo tensor alternado es antisimétrico. Además, cuando en el anillo conmutativo
el
es invertible, entonces se tiene la igualdad
, es decir, los tensores alternados son exactamente los antisimétricos.
Bibliografía
Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No. 4: Álgebra Lineal, SAC²: Seminario de Álgebra Constructiva, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. https://web.archive.org/web/20130603160516/http://www.matematicas.unal.edu.co/sac2/
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