Función distancia con signo

En matemáticas la función distancia con signo mide cuán cerca se encuentra un punto x de un conjunto S otorgándole un signo según el punto se encuentre de 'un lado o de otro' del conjunto S.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}d(x,S)&{\mbox{ si }}x\in A\\0&{\mbox{ si }}x\in S\\-d(x,S)&{\mbox{ si }}x\in B\end{cases}}}$

donde

${\displaystyle d(x,S)=\inf _{y\in S}d(x,y)}$ es la distancia ordinaria de un punto a un conjunto, A y B son conjuntos disjuntos que se definen según las características de S.

• Aunque la definición de la función tiene sentido en un espacio métrico cualquiera y para cualquier conjunto S, habitualmente solo se define en los ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y con S con suficientes propiedades.
• Si la superficie es completa, es decir, ${\displaystyle S=cl(S)}$ donde cl es la clausura, podemos reemplazar ínfimo por mínimo.
• La función distancia con signo es llamada también función distancia orientada

Para una superficie S que encierra un volumen la función distancia con signo ${\displaystyle b_{S}(x)}$ tomará valores positivos fuera de S, irá tendiendo a 0 a medida que x se acerca a ${\displaystyle cl(S)}$ y tomará valores negativos dentro de S.

${\displaystyle b_{S}(x)={\begin{cases}d_{S}(x)&{\mbox{ si }}x\in S^{+}\\0&{\mbox{ si }}x\in cl(S)\\-d_{S}(x)&{\mbox{ si }}x\in S^{-}\end{cases}}}$

Donde ${\displaystyle S^{+}}$ es el espacio fuera de la superficie y ${\displaystyle S^{-}}$ el espacio encerrado por la superficie.

• Para superficies que no encierran un volumen es posible también determinar el signo de ${\displaystyle b_{S}(x)}$. Sabemos que la elección de un vector normal ${\displaystyle N(p)}$ en un punto p de una superficie S induce una orientación en S, esto es, un campo continuo de vectores normales a la superficie. Para superficies no orientables en general es posible, de la misma manera, determinar una orientación local en un entorno de p. Luego, como en general ${\displaystyle b_{S}(x)}$ puede tomarse como la distancia entre x y un único punto ${\displaystyle p_{x}\in cl(S)}$, y como ${\displaystyle x-p_{x}}$ es paralelo a ${\displaystyle N(p)}$ la función tomara un valor positivo si ${\displaystyle x-p_{x}}$ tiene el mismo sentido que ${\displaystyle N(p)}$ y un valo negativo si tienen sentidos opuestos.

• Pueden existir ciertos puntos en el espacio donde la distancia a la superficie puede tomarse como la distancia a dos o más puntos de ${\displaystyle cl(S)}$. Este conjunto de puntos lo llamamos esqueleto de S y lo notaremos ${\displaystyle \epsilon (S)}$. Por ejemplo, en una esfera su esqueleto es su centro y un cilindro su eje.

${\displaystyle \epsilon (S)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\;/\;b_{S}(x)=s\|x-p_{x}\|=s\|x-p_{y}\|,\;s=\pm 1\;y\;p_{x}\neq p_{y}\right\}}$

Si S es una superficie continua y suave a trozos se verifican las siguientes propiedades:

1. Sea ${\displaystyle p_{x}\in cl(S)}$ tal que ${\displaystyle b_{S}(x)=\pm \|x-p_{x}\|}$ entonces ${\displaystyle x-p_{x}}$ es normal a S en ${\displaystyle p_{x}}$.

Demostración:

Sea A la esfera de centro x y radio ${\displaystyle \|x-p_{x}\|}$. Supongamos que ${\displaystyle x-p_{x}}$ no es normal a S en ${\displaystyle p_{x}}$, entonces A no es tangente a S en ${\displaystyle p_{x}}$, entonces existirá en un entorno de ${\displaystyle p_{x}}$ un ${\displaystyle p_{y}\in S}$ dentro A, entonces ${\displaystyle \|x-p_{y}\|<\|x-p_{x}\|}$, lo cual es falso.

2. ${\displaystyle b_{S}(x)}$ es Lipschitziana de constante k = 1, es decir, ${\displaystyle \|b_{S}(x)-b_{S}(y)\|\leq \|x-y\|}$.

Demostración:

Si ${\displaystyle x\;e\;y\in S^{+}}$ entonces ${\displaystyle \|x-p_{x}\|\leq \|x-p_{y}\|\leq \|x-y\|+\|y-p_{y}\|}$, entonces ${\displaystyle \|x-p_{x}\|-\|y-p_{y}\|\leq \|x-y\|}$. Si ${\displaystyle x\in S^{+}}$ e ${\displaystyle y\in S^{-}}$, entonces ${\displaystyle \exists z={\overline {xy}}\cap S}$ tal que ${\displaystyle \|x-p_{x}\|\leq \|x-z\|}$ y ${\displaystyle \|y-p_{y}\|\leq \|y-z\|}$, entonces ${\displaystyle \|x-p_{x}\|+\|y-p_{y}\|\leq \|x-y\|}$.

3. ${\displaystyle b_{S}(x)}$ es diferenciable en casi todos los puntos.

Demostración:

El teorema de Rademacher, establece que si U es un subconjunto abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle f(x)}$ es Lipschitz continua, entonces ${\displaystyle f(x)}$ es Fréchet diferenciable en casi todo U.

4. ${\displaystyle b_{S}(x)}$ es diferenciable en x si y solo si ${\displaystyle x\notin \epsilon (S)}$ y en ese caso existirá un único ${\displaystyle p_{x}}$ tal que ${\displaystyle b_{S}(x)=\pm \|x-p_{x}\|}$ y ${\displaystyle \nabla b_{S}(x)={\frac {x-p_{x}}{b_{S}(x)}}}$.

5. ${\displaystyle \|\nabla b_{S}(x)\|=1}$, es solución de la ecuación de la eikonal.

6. ${\displaystyle \forall x\in S,N(x)=\nabla b_{S}(x)}$, es decir para todo punto x en la superficie S la normal en x es el gradiente de ${\displaystyle b_{S}(x)}$ en x.

Demostración:

${\displaystyle S\subset cl(S)=\left\{x\;/\;b_{S}(x)=0\right\}}$, entonces ${\displaystyle N(x)={\frac {\nabla b_{S}(x)}{\|\nabla b_{S}(x)\|}}={\frac {\nabla b_{S}(x)}{1}}=\nabla b_{S}(x)}$

7. ${\displaystyle H(x)=\Delta b_{S}(x)}$ La curvatura media en x es igual al Laplaciano en x.

Demostración:

${\displaystyle H(x)=\nabla {\frac {\nabla b_{S}(x)}{\|\nabla b_{S}(x)\|}}=\nabla {\frac {\nabla b_{S}(x)}{1}}=\nabla \nabla b_{S}(x)=\nabla ^{2}b_{S}(x)=\Delta b_{S}(x)}$

• Distancia a un plano

Para un plano ${\displaystyle \Pi \equiv A.x+B.y+C.z+D=0}$ cuyo vector normal es ${\displaystyle (A,B,C)}$

${\displaystyle b_{\Pi }(x,y,z)={\frac {A.x+B.y+C.z+D}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$.

• Distancia a una esfera

Sea S la esfera de centro ${\displaystyle (a,b,c)}$ y radio r

${\displaystyle b_{S}(x,y,z)={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}-r}$

• distancia a un toro

Sea S un toro generado al rotar una circunferencia de radio r cuyo centro está separado a una distancia R del eje z y centrado en el origen.

${\displaystyle b_{S}(x,y,z)={\sqrt {({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R)^{2}+z^{2}}}-r}$

• Michel C. Delfour,J. P. Zolésio. Shapes and geometries: analysis, differential calculus, and optimization. 

• [1].