Función simétrica monomial

Las funciones simétricas monomiales son una clase especial de funciones simétricas que forman la base más simple del espacio vectorial de funciones simétricas.

Si ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$ es una partición, se construye el monomio

${\displaystyle x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\cdots x_{n}^{\lambda _{n}}}$.

La suma de tales monomios sobre todas las permutaciones distintas de ${\displaystyle \lambda }$, da como resultado un polinomio simétrico denotado ${\displaystyle m_{\lambda }\,}$.

Las funciones simétricas monomiales en cuatro variables para las particiones más pequeñas son:

• ${\displaystyle m_{\emptyset }=1}$.
• ${\displaystyle m_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\,}$.
• ${\displaystyle m_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$.
• ${\displaystyle m_{11}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}\,}$.
• ${\displaystyle m_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}}$.
• ${\displaystyle m_{21}=x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}^{1}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{3}}$.

Obsérvese que en ${\displaystyle m_{11}}$ sólo aparece ${\displaystyle x_{1}x_{3}}$ y no ${\displaystyle x_{3}x_{1}}$, porque ambas corresponden a la misma permutación ${\displaystyle (1010)}$ de la partición ${\displaystyle (1100)}$. En particular, se consideran todas las particiones de un entero ${\displaystyle n}$ como si tuvieran ${\displaystyle n}$ partes, añadiendo entradas cero de ser necesario.

Cualquier función simétrica en n variables

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma }x^{\sigma }}$

puede reescribirse en términos de funciones simétricas monomiales como

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{\lambda }m_{\lambda }}$,

por lo que el conjunto de funciones simétricas monomiales indizadas por las particiones de n

${\displaystyle \{m_{\lambda }:\lambda \vdash n\}}$

forma una base del espacio vectorial ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ de funciones simétricas en n variables.

Una consecuencia de la relación anterior es el siguiente teorema.