Función zeta de Dedekind : Propiedades, Relación con otras funciones L, Véase también, Enlaces externos Wikipedia, la enciclopedia libre

Función zeta de Dedekind

En matemática, la función zeta de Dedekind es una serie de Dirichlet definida para todo cuerpo K de números algebraicos, expresada como $\zeta _{K}(s)$ donde $s$ es una variable compleja. Está definida para números complejos s con parte real Re(s) > 1 por medio de la serie de Dirichlet

\zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbf {Q} }(I))^{s}}}

realizada sobre todos los I ideales del anillo de los enteros ${\mathcal {O}}_{K}$ de K, con $I\neq \{0\}$ . Donde $N_{K/\mathbf {Q} }(I)$ es la norma de I (al cuerpo racional Q): es igual a la cardinalidad de O_K/I, en otras palabras, el número de clases de residuos módulo $I$ . En el caso en que K=Q esta definición se reduce a la función zeta de Riemann.

Propiedades

Las propiedades de $\zeta _{K}(s)$ como una función meromórfica resultan de un considerable significado en la teoría de números algebraicos. Tiene una representación en forma de producto de Euler

\zeta _{K}(s)=\prod _{P\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-(N_{K/\mathbf {Q} }(P))^{-s}}},{\text{ para Re}}(s)>1.

cuyo producto es sobre todos los ideales primos P de O_K. Esta es la expresión en términos analíticos de la unicidad de la factorización prima de los ideales $I$ .

Se sabe (demostrado en forma general primero por Erich Hecke) que $\zeta _{K}(s)$ tiene una continuación analítica hacia todo el plano complejo como una función meromorfa, teniendo un polo simple solo en s = 1. El residuo en ese polo es una cantidad importante, que involucra a invariantes del grupo unitario y del grupo de clase de K; los detalles se encuentran en la fórmula de número de clase. Existe una ecuación funcional para la función zeta de Dedekind, que relaciona sus valores en s y 1−s.

Relación con otras funciones L

Para el caso en que K es una extensión abeliana de Q, su función zeta de Dedekind puede ser escrita como un producto de funciones L de Dirichlet. Por ejemplo, cuando K es un cuerpo cuadrático esto muestra que la relación

{\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbf {Q} }(s)}}

es una función L, L(s,χ); donde $\chi$ es un símbolo de Jacobi como carácter de Dirichlet. Que la función zeta de un cuerpo cuadrático sea un producto de la función zeta de Riemann y una cierta función L de Dirichlet es una formulación analítica de la ley de Gauss de reciprocidad cuadrática.

En general si K es una extensión de Galois de Q con grupo de Galois G, su función zeta de Dedekind tiene una factorización comparable en términos de funciones L de Artin. Estas están asociadas a representaciones lineales de G.