![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Commons-emblem-question_book_orange.svg/40px-Commons-emblem-question_book_orange.svg.png) | Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada. Busca fuentes: «Lema de Neyman-Pearson» – noticias · libros · académico · imágenes Este aviso fue puesto el 10 de junio de 2020. |
En estadística, el lema fundamental de Neyman-Pearson es un resultado que describe el criterio óptimo para distinguir dos hipótesis simples
y
.
El lema debe su nombre a sus dos creadores, Jerzy Neyman y Egon Pearson.
Proposición
Sea
una muestra aleatoria de una población con función de densidad
donde
y sean
,
y
tales que
![{\displaystyle \operatorname {P} [\mathbf {X} \in {\mathcal {C}}|H_{0}]=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4798ff537746a28c0203ee636022e7f364d50bdb)
si
.
si
.
entonces la prueba asociada a
es una prueba más potente para probar
contra
, es decir,
es la mejor región crítica.
Ejemplo
Sea
una muestra aleatoria de una población con distribución
donde
es conocida. Considere
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&:\mu =\mu _{0}\\H_{1}&:\mu =\mu _{1}\\\alpha \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b88f3434386bdaf85acb7f8f5f2401e078942f)
siendo
.
En esta caso la función de verosimilitud es
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n};\mu ,\sigma _{0}^{2})&=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma _{0}^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma _{0}^{2}}}\right)\\&=\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma _{0}^{2}}}}\right)^{n}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma _{0}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487c7f69f332584a772b2948577d43ae6af0ef7c)
por el lema de Neyman-Pearson
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\mathcal {L}}_{0}}{{\mathcal {L}}_{1}}}&={\frac {\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma _{0}^{2}}}}\right)^{n}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma _{0}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu _{0})^{2}\right)}{\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma _{0}^{2}}}}\right)^{n}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma _{0}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu _{1})^{2}\right)}}\\&=\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma _{0}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu _{0})^{2}+{\frac {1}{2\sigma _{0}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu _{1})^{2}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e1b82dc857c536d188db3b8abc1ff7abbbdc18)
pero
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2})\\&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\mu \sum _{i=1}^{n}x_{i}+n\mu ^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\mu n{\bar {x}}+n\mu ^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b07a75cf25383e2aa5599e406e670727c9de2a1)
por lo que
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\mathcal {L}}_{0}}{{\mathcal {L}}_{1}}}&=\exp \left[-{\frac {1}{2\sigma _{0}^{2}}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\mu _{0}n{\bar {x}}+n\mu _{0}^{2}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+2\mu _{1}n{\bar {x}}-n\mu _{1}^{2}\right)\right]\\&=\exp \left[-{\frac {1}{2\sigma _{0}^{2}}}\left(2n{\bar {x}}(\mu _{1}-\mu _{0})+n(\mu _{0}^{2}-\mu _{1}^{2})\right)\right]\\&=\exp \left[{\frac {n{\bar {x}}(\mu _{0}-\mu _{1})}{\sigma _{0}^{2}}}-{\frac {n(\mu _{0}^{2}-\mu _{1}^{2})}{2\sigma _{0}^{2}}}\right]\leq k_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b43b8d3e57306b01cd1c479114ef3fb8a0f0e09)
lo anterior implica
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {n{\bar {x}}(\mu _{0}-\mu _{1})}{\sigma _{0}^{2}}}-{\frac {n(\mu _{0}^{2}-\mu _{1}^{2})}{2\sigma _{0}^{2}}}\leq k_{2}=\ln(k_{1})\\&{\frac {n{\bar {x}}(\mu _{0}-\mu _{1})}{\sigma _{0}^{2}}}\leq k_{3}=k_{2}+{\frac {n(\mu _{0}^{2}-\mu _{1}^{2})}{2\sigma _{0}^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee678cf510cb0de734c550c68dd8104e70cc1c5)
como
entonces
luego
![{\displaystyle {\bar {x}}\geq k={\frac {k_{3}\sigma _{0}^{2}}{n(\mu _{0}-\mu _{1})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3b4533019dfb2e526de6f3fe600dfc5d4ae486)
por lo tanto se rechaza
si
, es decir la región de rechazo
queda descrita como
![{\displaystyle {\mathcal {C}}=\{(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}):{\bar {X}}\geq k\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eede1298ab14dccf13c704f0f619990b555f5980)
Aplicaciones en estadística secuencial
La versión secuencial de esta prueba fue desarrollada en el contexto de la Segunda Guerra Mundial por Wald. La idea subyacente consiste en contrastar las hipótesis nula y alternativa a medida que se recogen nuevos datos. Generalmente se busca llegar a una decisión (rechazar
o aceptarla) antes de contrastar toda la colección de datos. El procedimiento de decisión que se utiliza se explica a continuación:
Este procedimiento se conoce como prueba de la razón secuencial, y los valores
y
determinan los errores de tipo I y tipo II de este procedimiento. Recordemos que
tiene la forma siguiente:
De la definición del estadístico se sigue que
si se acepta la hipótesis nula, mientras que
en caso de aceptar la hipótesis alternativa.
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Datos: Q1375989 |
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Datos: Q1375989