Logaritmo de una matriz

En matemática, en particular en análisis, el logaritmo de una matriz es otra matriz tal que su matriz exponencial asociada sea igual a la matriz inicial. Esto corresponde por lo tanto a una generalización de la función escalar del logaritmo y en cierto sentido es la función inversa de la exponenciación de matrices. No todas las matrices poseen un logaritmo e incluso pueden llegar a tener más de un logaritmo asociado, de modo que definir la función logaritmo para matrices debe realizarse con cuidado.

El estudio del logaritmo de matrices conlleva a la Teoría de Lie puesto que cuando una matriz posee un logaritmo entonces ésta es un elemento del Grupo de Lie y su logaritmo es el elemento correspondiente del espacio vectorial del Álgebra de Lie.

Una matriz ${\displaystyle B}$ es un logaritmo^{[nota 1]}​ de la matriz ${\displaystyle A}$ si la exponencial de ${\displaystyle B}$ es ${\displaystyle A}$,^[1]​ esto es:

${\displaystyle {\rm {e}}^{B}=A.}$

• El logaritmo de una matriz puede ser una matriz compleja aún si todos sus elementos son números reales, si alguno de ellos es negativo.
• En cualquier caso, el logaritmo de una matriz ${\displaystyle B}$ no es único, es decir existe más de una matriz compleja ${\displaystyle A}$ tal que ${\displaystyle \exp(A)=B}$.

En el caso de los complejos, la matriz ${\displaystyle A}$ posee un logaritmo si y solo si es invertible^[2]​. Este logaritmo no es único, pero si ${\displaystyle A}$ no tiene valores propios reales negativos, ella tiene un único logaritmo cuyos valores propios se encuentran todos en la banda del plano complejo definido por ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ;\,\,-\pi <{\text{Im}}(z)<\pi \}}$; a este logaritmo le llamamos "logatirmo principal"^[3]​.

Si nos limitamos ahora a las matrices de coeficientes reales, tenemos un criterio más complicado: una matriz real admite un logaritmo real si y solo si ella es invertible y si cada bloque de Jordan corresponde a un valor propio real negativo aparece un número par de veces^[4]​ (En caso contrario, la matriz solamente tendrá logaritmos complejos).

Si ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ son dos matrices definidas positivas tales que ${\displaystyle AB=BA}$, entonces, para dos logaritmos cualesquiera ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, notados como ${\displaystyle \ln(A)}$ y ${\displaystyle \ln(B)}$, tenemos ${\displaystyle AB={\rm {e}}^{\ln(A)+\ln(B)}}$.

Para toda matriz invertible ${\displaystyle A}$ y elección de logaritmo ${\displaystyle \ln(A)}$, se tiene que ${\displaystyle A^{-1}={\rm {e}}^{-\ln(A)}}$.

Si D es una matriz matriz diagonal (invertible), su logaritmo se obtiene tomando la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los logaritmos de aquellos de D (si todos los coeficientes de D son reales positivos, existe un único logaritmo (con coeficientes reales)).

Más generalmente, si ${\displaystyle A}$ es una matriz diagonalizable (invertible), podemos por definición escribir ${\displaystyle A=PDP^{-1}}$, donde ${\displaystyle D}$ es una matriz diagonal y donde ${\displaystyle P}$ es la matriz de cambio de base correspondiente a una base de vectores de vectores propios de ${\displaystyle A}$; llamando entonces a ${\displaystyle L}$ como un logaritmo de ${\displaystyle D}$, verificamos fácilmente (ver «matriz exponencial») que ${\displaystyle \exp(PLP^{-1})=P\exp(L)P^{-1}=A}$, y entonces tenemos que ${\displaystyle PLP^{-1}}$ es un logaritmo de ${\displaystyle A}$.

El resultado expuesto anteriormente no se puede aplicar a matrices no diagonalizables tales como ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$. Poniendo una matriz como ésta bajo la forma normal de Jordan, podemos entonces calcular el logaritmo de los bloques de Jordan. Recordando que estos bloques tienen la forma:

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$,

donde ${\displaystyle K}$ es una matriz nilpotente (triangular superior y de diagonal nula), el escalar ${\displaystyle \lambda }$ no nulo si hemos supuesto a la matriz invertible. Utilizando el desarrollo en serie ${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$, sabemos que en el sentido de las series formales de potencias se tiene que ${\displaystyle \exp(\ln(1+x))=1+x}$, y de este modo (dado que las matrices de las potencias conmutan entre ellas) se tiene también que ${\displaystyle \exp(\ln(I+K))=I+K}$ en caso de que la serie sea convergente para una matriz ${\displaystyle K}$ dada. Haciendo el cálculo entonces

${\displaystyle L=\ln B=\ln {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\ln(\lambda I)+\ln(I+K)=(\ln \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots ,}$

la serie es evidentemente convergente, dado que siendo ${\displaystyle K}$ nilpotente, ella no tiene que un número finito de términos (existe ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle K^{m}=0}$ para todo ${\displaystyle m\geq n}$); se concluye entonces que ${\displaystyle L}$ es efectivamente un logaritmo de ${\displaystyle B}$ (siempre y cuando se asuma invertible para que ${\displaystyle \lambda }$).

De este modo tenemos por ejemplo que:

${\displaystyle \ln {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

• Exponencial de matrices
• Logaritmo
• Forma canónica de Jordan
• Función inversa