Medias pitagóricas

En matemáticas, las tres clásicas medidas pitagóricas son la media aritmética (AM), la media geométrica (GM), y la media armónica (HM). Se definen por:

${\displaystyle AM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\frac {1}{n}}\,(\,x_{1}+\,\cdots \,+x_{n}\,)}$

${\displaystyle GM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\sqrt[{n}]{\,\left\vert \,x_{1}\,{}_{{}^{\times }}\,\cdots \,{}_{{}^{\times }}\,x_{n}\,\right\vert \,}}}$

${\displaystyle HM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\frac {n}{\displaystyle \ {\frac {1}{x_{1}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{x_{n}}}\ }}}$

Cada medio tiene las siguientes propiedades:

Preservación de valor: ${\displaystyle M(x,x,\ldots ,x)=x}$

Homogeneidad de primer orden: ${\displaystyle M(bx_{1},\ldots ,bx_{n})=bM(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Invariancia bajo intercambio: ${\displaystyle M(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=M(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )}$ para cualquier ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle j}$.

Promedio: ${\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq M(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

Estos medios se estudiaron con proporciones en pitagóricos y posteriores generaciones de matemáticos griegos^[1]​ debido a su importancia en la geometría y la música. Los medios armónicos y aritméticas son duales recíprocas de uno al otro para argumentos positivos (${\displaystyle HM(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=1/AM(x_{1}\ldots x_{n})}$). Mientras que la media geométrica es su propio dual recíproco.

Hay un pedido a estos medios (para todad ${\displaystyle x_{i}}$ positivos)

${\displaystyle \min \leq HM\leq GM\leq AM\leq \max }$

con igualdad de derechos si y solo si el ${\displaystyle x_{i}}$ son todos iguales

Esta es una generalización de la Desigualdad de las medias aritmética y geométrica y un caso especial de una desigualdad para las Media generalizadas. La prueba se sigue de la desigualdad media aritmético-geométrica, ${\displaystyle AM\leq \max }$ y la dualidad recíproca (${\displaystyle \min }$ and ${\displaystyle \max }$ también son recíprocamente duales entre sí).

El estudio de los medios pitagóricos está estrechamente relacionado con la Mayorización y las funciones Schur-convexas. Los medios armónicos y geométricos son funciones simétricas cóncavas de sus argumentos, y por lo tanto Schur-cóncavo, mientras que la media aritmética es una función lineal de sus argumentos, por lo que son cóncavos y convexos.