Medida sigma-finita

En teoría de la medida, una medida sigma-finita (${\displaystyle \sigma }$-finita) de un cierto espacio de medida es una medida tal que el espacio se pueda obtener como unión numerable de conjuntos de medida finita. Al trabajar sobre espacios medibles equipados con una medida ${\displaystyle \sigma }$-finita es muy interesante, pues hay muchos resultados que trabajan sobre ellos, trayendo consigo consecuencias importantes, como por ejemplo, el Teorema de Fubini, el cual requiere que se trabaje sobre espacios de medida ${\displaystyle \sigma }$-finitos.

Sea ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)}$ un espacio de medida. Se dice que ${\displaystyle \mu }$ es una medida ${\displaystyle \sigma }$-finita (o simplemente diremos que ${\displaystyle \mu }$ es ${\displaystyle \sigma }$-finita) si

${\textstyle \displaystyle X=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\;,\,{\text{donde }}\left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {A}}{\text{ con }}\mu \left(A_{n}\right)<\infty \;,\forall n\geq 1}$

Así, si ${\displaystyle \mu }$ es ${\displaystyle \sigma }$-finita, diremos que el espacio ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)}$ es un espacio de medida ${\displaystyle \sigma }$-finito.^[1]​

1. El espacio ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right),\lambda \right)}$ es un espacio ${\displaystyle \sigma }$-finito, donde ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right)}$ es la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra de Borel sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, y ${\displaystyle \lambda }$ es la medida de Lebesgue sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. En efecto, denotemos a la bola abierta centrada en ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ y radio ${\displaystyle r>0}$ por ${\displaystyle B\left(x,r\right)=\left\{y\in \mathbb {R} \colon ||x-y||<r\right\}}$, donde ${\displaystyle ||\cdot ||}$ denota la norma euclidiana sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Como sobre ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{d},\tau _{\mathbb {R} ^{d}}\right)}$ se tiene que una base para la topología ${\displaystyle \tau _{\mathbb {R} ^{d}}}$ es la familia formada por bolas abiertas, tenemos que, existe ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}=\bigcup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}B(x,r)}$, teniendo que ${\displaystyle \lambda \left(B(x,r)\right)<\infty }$. Por tanto, ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right),\lambda \right)}$ es un espacio ${\displaystyle \sigma }$-finito.

1. ↑ Cohn, Donald L. (2013). Measure theory (en inglés). Springer.