Número de Munchausen
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En teoría de números, un invariante perfecto dígito a dígito (PDDI por las siglas del término inglés "perfect digit-to-digit invariant"; también conocido como número de Munchausen[1]) es un número natural en una base dada que es igual a la suma de sus dígitos, cada uno elevado a una potencia igual a sí mismo.
Un ejemplo en base 10 es 3435, porque: .
El término "número de Munchausen" fue acuñado por el matemático e ingeniero de software holandés Daan van Berkel en 2009,[2] ya que evoca la historia del Barón de Münchhausen que se levantaba del suelo tirando de su propia coleta, lo que sirve de referencia a que cada dígito se debe elevar a una potencia igual a sí mismo.[3][4]
Definición
Sea un número natural que se puede escribir en base como el número de k dígitos donde cada dígito está entre y inclusive, y . Se define la función como .
Como 00 no siempre está definido, se usan dos convenciones, una en la que se considera que es igual a uno y otra en la que se considera que es igual a cero.[5][6]
Un número natural se define como un invariante perfecto dígito a dígito en base b si . Por ejemplo, el número 3435 es un invariante perfecto de dígito a dígito en base 10 porque
para todo , y por lo tanto 1 es un invariante perfecto dígito a dígito "trivial" en todas las bases, y todos los demás invariantes dígito a dígito perfectos son "no triviales". Para la segunda convención donde , tanto como son invariantes perfectos de dígito a dígito triviales.
Un número natural es un invariante dígito a dígito sociable si es un punto periódico para , donde para un entero positivo , y forma un ciclo de período . Un invariante perfecto dígito a dígito es un invariante sociable dígito a dígito con . Un invariante dígito a dígito amistoso es un invariante dígito a dígito sociable con .
Todos los números naturales son puntos preperiódicos para , independientemente de la base. Esto se debe a que todos los números naturales de base con dígitos satisfacen que . Sin embargo, cuando , , por lo que cualquier satisfará a hasta .
Hay un número finito de números naturales menor que , por lo que se garantiza que el número alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que , convirtiéndolo en un punto preperiódico. Esto también significa que hay un número finito de invariantes dígito a dígito perfectos y ciclos para cualquier base dada .
El número de iteraciones necesarias para que alcance un punto fijo es la función de persistencia -factorión de , e indefinido si nunca llega a un punto fijo.
Invariantes y ciclos perfectos dígito a dígito de Fb para b específica
Todos los números están representados en la base .
Convención 00 = 1
Base | Invariantes dígito a dígito perfectos no triviales () | Ciclos |
---|---|---|
2 | 10 | |
3 | 12, 22 | 2 → 11 → 2 |
4 | 131, 313 | 2 → 10 → 2 |
5 | 2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2 104 → 2013 → 113 → 104 | |
6 | 22352, 23452 | 4 → 1104 → 1111 → 4 23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445 |
7 | 13454 | 12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066 |
8 | 405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405 | |
9 | 31, 156262, 1656547 | |
10 | 3435 | |
11 | ||
12 | 3A67A54832 |
Convención 00 = 0
Base | Invariantes dígito a dígito perfectos no triviales (, )[1] | Ciclos |
---|---|---|
2 | ||
3 | 12, 22 | 2 → 11 → 2 |
4 | 130, 131, 313 | |
5 | 103, 2024 | 2 → 4 → 2011 → 11 → 2 9 → 2012 → 9 |
6 | 22352, 23452 | 5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5 53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53 |
7 | 13454 | |
8 | 400, 401 | |
9 | 30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084 | |
10 | 3435, 438579088 | |
11 | ||
12 | 3A67A54832 |
Ejemplos de programación
Python
El siguiente programa en Python determina si un número entero es un Número de Munchausen (o invariante perfecto dígito a dígito) o no, siguiendo la convención .
num = int(input("Enter number:")) temp = num s = 0.0 while num > 0: digit = num % 10 num //= 10 s+= pow(digit,digit) if s == temp: print("Munchausen Number") else: print("Not Munchausen Number")
Los ejemplos siguientes desarrollan la función invariante de dígito a dígito perfecta descrita en la definición anterior en Python para las dos convenciones.
Convención 00 = 1
def pddif(x: int, b: int) -> int: total = 0 while x > 0: total = total + pow(x % b, x % b) x = x // b return total def pddif_cycle(x: int, b: int) -> List[int]: seen = [] while x not in seen: seen.append(x) x = pddif(x, b) cycle = [] while x not in cycle: cycle.append(x) x = pddif(x, b) return cycle
Convención 00 = 0
def pddif(x: int, b: int) -> int: total = 0 while x > 0: if x % b > 0: total = total + pow(x % b, x % b) x = x // b return total def pddif_cycle(x: int, b: int) -> List[int]: seen = [] while x not in seen: seen.append(x) x = pddif(x, b) cycle = [] while x not in cycle: cycle.append(x) x = pddif(x, b) return cycle
Java
El siguiente programa en Java determina si un número entero es un Número de Munchausen o no, siguiendo la convención .
import java.util.Scanner; public class Munchausen { public static void main () { Scanner in = new Scanner (System.in); System.out.println("Enter number:"); int num = in.nextInt(), temp = num, digit; double sum = 0; while (num>0) { digit = num % 10; num /= 10; sum += Math.pow(digit, digit); } if (sum == temp) System.out.print("Munchausen Number"); else System.out.print("Not Munchausen Number"); } }
Véase también
- Dinámica aritmética
- Número de Dudeney
- Factorion
- Número feliz
- Constante de Kaprekar
- Número de Kaprekar
- Número de Meertens
- Número narcisista
- Invariante digital perfecto
- Número de producto suma
Referencias
- ↑ a b van Berkel, Daan (2009). «On a curious property of 3435». arXiv:0911.3038 [math.HO].
- ↑ Olry, Regis and Duane E. Haines. "Historical and Literary Roots of Münchhausen Syndromes", from Literature, Neurology, and Neuroscience: Neurological and Psychiatric Disorders, Stanley Finger, Francois Boller, Anne Stiles, eds. Elsevier, 2013. p.136.
- ↑ Daan van Berkel, On a curious property of 3435.
- ↑ Parker, Matt (2014). Things to Make and Do in the Fourth Dimension. Penguin UK. p. 28. ISBN 9781846147654. Consultado el 2 de mayo de 2015.
- ↑ Narcisstic Number, Harvey Heinz
- ↑ Wells, David (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin. p. 185. ISBN 0-14-026149-4.
Enlaces externos
- Parker, Matt. «3435». Numberphile. Brady Haran. Archivado desde el original el 13 de abril de 2017. Consultado el 1 de abril de 2013.
- Los números de Munchausen (gaussianos.com)
Datos: Q1659659