Número totiente perfecto
En teoría de números, un número totiente perfecto[1] es un número entero que es igual a la suma de sus totientes iterados. Es decir, se aplica la función φ de Euler a un número n, se aplica de nuevo al totiente resultante, y así sucesivamente, hasta llegar al número 1, y se suma la secuencia de números resultante. Si la suma es igual a n, entonces n es un número totiente perfecto.
Ejemplos
Por ejemplo, hay seis enteros positivos menores y coprimos con respecto a 9, por lo que el totiente de 9 es 6; hay dos números menores que 6 y coprimos con respecto a él, por lo que el totiente de 6 es 2; y hay un número menor que 2 y primo respecto a él, así que el totiente de 2 es 1. Se comprueba que 9 = 6 + 2 + 1, por lo que 9 es un número totiente perfecto.
Los primeros números totientes perfectos son
- 3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, ... (sucesión A082897 en OEIS).
En forma simbólica, se expresa de la forma siguiente
para la función totiente iterada. Entonces si c es el entero tal que
se tiene que n es un número totiente perfecto si
Múltiplos y potencias de tres
Se puede observar que muchos totientes perfectos son múltiplos de 3; de hecho, 4375 es el número totiente perfecto más pequeño que no es divisible por 3. Todas las potencias de 3 son números totientes perfectos, como puede verse por inducción usando el hecho de que
Venkataraman (1975) encontró otra familia de números totientes perfectos: si p = 4 × 3k + 1 es primo, entonces 3p es un número totiente perfecto. Los valores de k que conducen a números totientes perfectos de esta manera son
- 0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... (sucesión A005537 en OEIS).
De manera más general, si p es un número primo mayor que 3, y 3p es un número totiente perfecto, entonces p ≡ 1 (mod 4) (Mohan y Suryanarayana 1982). No todos los p de esta forma conducen a números totientes perfectos; por ejemplo, 51 no es un número totiente perfecto. Iannucci et al. (2003) demostraron que si 9p es un número totiente perfecto, entonces p es un número primo de una de las tres formas específicas enumeradas en su artículo. No se sabe si existen números totientes perfectos de la forma 3kp donde p es primo y k > 3.
Referencias
Bibliografía
- Pérez-Cacho Villaverde, Laureano (1939). «Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos». Revista Matematica Hispano-Americana 5 (3): 45-50.
- Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. New York: Springer-Verlag. p. §B41. ISBN 0-387-20860-7.
- Iannucci, Douglas E.; Deng, Moujie; Cohen, Graeme L. (2003). «On perfect totient numbers». Journal of Integer Sequences 6 (4): 03.4.5. MR 2051959. Archivado desde el original el 12 de agosto de 2017. Consultado el 7 de febrero de 2007.
- Luca, Florian (2006). «On the distribution of perfect totients». Journal of Integer Sequences 9 (4): 06.4.4. MR 2247943. Consultado el 7 de febrero de 2007.
- Mohan, A. L.; Suryanarayana, D. (1982). «Perfect totient numbers». Number theory (Mysore, 1981). Lecture Notes in Mathematics, vol. 938, Springer-Verlag. pp. 101-105. MR 0665442.
- Venkataraman, T. (1975). «Perfect totient number». The Mathematics Student 43: 178. MR 0447089.
- Hyvärinen, Tuukka (2015). «Täydelliset totienttiluvut». Tampere: Tampereen yliopisto.
Datos: Q3879418