Producto tensorial inductivo

La topología más fina localmente convexa en un espacio vectorial topológico (EVT) en ${\displaystyle X\otimes Y,}$ el producto tensorial de dos EVT localmente convexos, hace que la aplicación canónica separadamente continua ${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y}$ (definida enviando ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ a ${\displaystyle x\otimes y}$) se denomina topología inductiva o topología ${\displaystyle \iota }$. Cuando ${\displaystyle X\otimes Y}$ está dotado de esta topología, se denota por ${\displaystyle X\otimes _{\iota }Y}$ y se denomina producto tensorial inductivo de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y.}$^[1]​.

Sean ${\displaystyle X,Y,}$ y ${\displaystyle Z}$ espacios vectoriales topológicos localmente convexos y ${\displaystyle L:X\to Y}$ una aplicación lineal.

• ${\displaystyle L:X\to Y}$ es un homomorfismo topológico u homomorfismo, si es lineal, continua, y ${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$ es una aplicación abierta, donde ${\displaystyle \operatorname {Im} L,}$ la imagen de ${\displaystyle L,}$ tiene la topología subespacial inducida por ${\displaystyle Y.}$
  • Si ${\displaystyle S\subseteq X}$ es un subespacio de ${\displaystyle X}$, entonces tanto la aplicación cociente ${\displaystyle X\to X/S}$ como la inyección canónica ${\displaystyle S\to X}$ son homomorfismos. En particular, cualquier aplicación lineal ${\displaystyle L:X\to Y}$ se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: ${\displaystyle X\to X/\operatorname {ker} L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y}$ donde ${\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}$ define una biyección.
• El conjunto de operadores lineales continuos ${\displaystyle X\to Z}$ (respectivamente, operadores bilineales continuos ${\displaystyle X\times Y\to Z}$) se denotará por ${\displaystyle L(X;Z)}$ (respectivamente, ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$), donde si ${\displaystyle Z}$ es un cuerpo escalar, entonces se puede escribir ${\displaystyle L(X)}$ (respectivamente, ${\displaystyle B(X,Y)}$).
• Se denota el espacio dual de ${\displaystyle X}$ por ${\displaystyle X^{\prime }}$ y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en ${\displaystyle X,}$ sean continuos o no) por ${\displaystyle X^{\#}.}$
  • Para aumentar la claridad de la exposición, se utiliza la convención común de escribir elementos de ${\displaystyle X^{\prime }}$ con una comilla después del símbolo (por ejemplo, ${\displaystyle x^{\prime }}$ denota un elemento de ${\displaystyle X^{\prime }}$ (no confundir con una derivada) y las variables ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle x^{\prime }}$ no necesitan estar relacionadas de manera alguna).
• Una aplicación lineal ${\displaystyle L:H\to H}$ desde un espacio de Hilbert sobre sí mismo se llama positiva si ${\displaystyle \langle L(x),X\rangle \geq 0}$ para cada ${\displaystyle x\in H.}$ En este caso, existe una aplicación positiva única ${\displaystyle r:H\to H,}$ llamada raíz cuadrada de ${\displaystyle L,}$ tal que ${\displaystyle L=r\circ r.}$^[2]​
  • Si ${\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}}$ es cualquier aplicación lineal continua entre espacios de Hilbert, entonces ${\displaystyle L^{*}\circ L}$ es siempre positivo. Ahora, denótese como ${\displaystyle R:H\to H}$ su raíz cuadrada positiva, que se denomina valor absoluto de ${\displaystyle L.}$ Defínase ${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$ primero en ${\displaystyle \operatorname {Im} R}$ configurando ${\displaystyle U(x)=L(x)}$ para ${\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}$ y extendiendo ${\displaystyle U}$ continuamente a ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}},}$ y luego definir ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle \operatorname {ker} R}$ configurando ${\displaystyle U(x)=0}$ para ${\displaystyle x\in \operatorname {ker} R}$ y extender esta aplicación linealmente a todo ${\displaystyle H_{1}.}$ La aplicación ${\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}$ es una isometría sobreyectiva y ${\displaystyle L=U\circ R.}$
• Un aplicación lineal ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$ se llama compacta o completamente continua si existe un entorno ${\displaystyle U}$ del origen en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle \Lambda (U)}$ es precompacta en ${\displaystyle Y.}$^[3]​
  • En un espacio de Hilbert, los operadores lineales compactos positivos, como ${\displaystyle L:H\to H}$, tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del siglo XX por Fredholm y F. Riesz:^[4]​

Existe una sucesión de números positivos, decrecientes y finitos o convergentes a 0, ${\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots }$ y una secuencia de subespacios de dimensiones finitas distintas de cero ${\displaystyle V_{i}}$ de ${\displaystyle H}$ (${\displaystyle i=1,2,\ldots }$) con las siguientes propiedades: (1) los subespacios ${\displaystyle V_{i}}$ son ortogonales por pares; (2) para cada ${\displaystyle i}$ y cada ${\displaystyle x\in V_{i},}$ ${\displaystyle L(x)=r_{i}x}$; y (3) el elemento ortogonal del subespacio abarcado por ${\displaystyle \cup _{i}V_{i}}$ es igual al núcleo de ${\displaystyle L.}$^[4]​

• ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ denota la topología más gruesa en ${\displaystyle X}$, lo que hace que cada aplicación en ${\displaystyle X^{\prime }}$ sea continua y ${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}}$ o ${\displaystyle X_{\sigma }}$ denota el espacio ${\displaystyle X}$ dotado con esta topología.
• ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ denota la topología *débil sobre ${\displaystyle X^{\prime }}$ y ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}}$ o ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ denota ${\displaystyle X^{\prime }}$ dotado con esta topología.
  • Cada ${\displaystyle x_{0}\in X}$ induce una aplicación ${\displaystyle X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ definida por ${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ es la topología más burda de ${\displaystyle X^{\prime }}$, lo que hace que todas estas aplicaciones sean continuas.
• ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$ denota la topología de convergencia acotada en ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}$ o ${\displaystyle X_{b}}$ denota ${\displaystyle X}$ dotado con esta topología.
• ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ denota la topología de convergencia acotada en ${\displaystyle X^{\prime }}$ o la topología dual fuerte en ${\displaystyle X^{\prime }}$ y ${\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}$ o ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ denota ${\displaystyle X^{\prime }}$ dotado con esta topología.
  • Como es habitual, si ${\displaystyle X^{\prime }}$ se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha dejado claro con qué topología está dotado, entonces se asumirá que la topología es ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$

Supóngase que ${\displaystyle Z}$ es un espacio localmente convexo y que ${\displaystyle I}$ es la aplicación canónica del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma ${\displaystyle X\times Y\to Z,}$ dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de ${\displaystyle X\otimes Y\to Z.}$^[1]​. Entonces, cuando el dominio de ${\displaystyle I}$ está restringido a ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ (el espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente), entonces el rango de esta restricción es el espacio ${\displaystyle L\left(X\otimes _{\iota }Y;Z\right)}$ de operadores lineales continuos ${\displaystyle X\otimes _{\iota }Y\to Z.}$ En particular, el espacio dual continuo de ${\displaystyle X\otimes _{\iota }Y}$ es canónicamente isomorfo al espacio ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y),}$ (el espacio de formas bilineales continuas separadas en ${\displaystyle X\times Y}$).

Si ${\displaystyle \tau }$ es una topología sobre un EVT localmente convexa en ${\displaystyle X\otimes Y}$ (${\displaystyle X\otimes Y}$ con esta topología se indicará como ${\displaystyle X\otimes _{\tau }Y}$), entonces ${\displaystyle \tau }$ es igual a la topología del producto tensorial inductivo si y solo si tiene la siguiente propiedad:^[5]​

Para cada EVT localmente convexo ${\displaystyle Z,}$ si ${\displaystyle I}$ es la aplicación canónico del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma ${\displaystyle X\times Y\to Z,}$ dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de ${\displaystyle X\otimes Y\to Z,}$ entonces cuando el dominio de ${\displaystyle I}$ está restringido a ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ (espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente) entonces el rango de esta restricción es el espacio ${\displaystyle L\left(X\otimes _{\tau }Y;Z\right)}$ de operadores lineales continuos ${\displaystyle X\otimes _{\tau }Y\to Z.}$

• Espacio normado auxiliar
• Topología inicial
• Producto tensorial inyectivo
• Operador nuclear
• Espacio nuclear
• Producto tensorial proyectivo
• Producto tensorial de espacios de Hilbert
• Producto tensorial topológico

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• Espacio nuclear en ncatlab