Reducción de orden

En matemáticas, la reducción de orden es una técnica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos soluciones (${\displaystyle y_{1}}$) es conocida y se busca la segunda (${\displaystyle y_{2}}$).

Dada una ecuación diferencial

${\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=0\,}$

y una sola solución (${\displaystyle y_{1}(t)}$), y sea la segunda solución definida por

${\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,}$

donde ${\displaystyle v(t)}$ es una función arbitraria. Así,

${\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,}$

y

${\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,}$

Si se sustituyen por ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle y'}$, y ${\displaystyle y''}$ a la ecuación diferencial, entonces

${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=0.}$

Como ${\displaystyle y_{1}(t)}$ es solución de la ecuación diferencial original, ${\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}$, se puede reducir a

${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=0}$

que es una ecuación diferencial de primer orden por ${\displaystyle v'(t)}$. Dividiendo por ${\displaystyle y_{1}(t)}$, se obtiene

${\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'=0}$

y ${\displaystyle v'(t)}$ se puede encontrar utilizado el método general:

${\displaystyle v'(t)=C_{1}{\frac {1}{y_{1}^{2}(t)}}e^{-\int p(t)dt}}$

Una vez se ha encontrado ${\displaystyle v'(t)}$, se integra y se sustituye a la ecuación original por ${\displaystyle y_{2}}$:

${\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t).\,}$

• (en inglés) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
• Weisstein, Eric W. «Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.