Séptimo problema de Hilbert

El séptimo problema de Hilbert (uno de los conocidos como veintitrés Problemas de Hilbert, publicados en 1900 por el matemático alemán David Hilbert), se refiere a la irracionalidad y a la trascendencia de ciertos números (en alemán, Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen).

Se hacen dos preguntas específicas equivalentes:^[1]​

1. En un triángulo isósceles, si la razón entre el ángulo de la base y el ángulo del vértice es algebraica pero no racional, ¿Entonces la razón entre la base y el lado es siempre transcendente?
2. ¿${\displaystyle a^{b}}$ es siempre un número trascendente, para cualquier número algebraico ${\displaystyle a\not \in \{0,1\}}$ y para cualquier número irracional algebraico ${\displaystyle b}$?

La pregunta (en la segunda forma) fue respondida afirmativamente por Aleksandr Guélfond en 1934 y refinada por Theodor Schneider en 1935. Este resultado se conoce como teorema de Gelfond o teorema de Gelfond-Schneider. La restricción a que b sea irracional es importante, ya que es fácil ver que ${\displaystyle a^{b}}$ es algebraico para la a siendo un número algebraico y b racional).

Desde el punto de vista de las generalizaciones, este es el caso

${\displaystyle b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0}$

de la forma lineal en logaritmos general, que fue estudiada por Gelfond y luego resuelta por Alan Baker. Se llama la conjetura de Gelfond o teorema de Baker. Baker recibió un Medalla Fields en 1970 por este logro.

• Número de Hilbert o constante de Gelfond–Schneider

• Tijdeman, Robert (1976). «On the Gel'fond–Baker method and its applications». En Felix E. Browder, ed. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. American Mathematical Society. XXVIII.1. American Mathematical Society. pp. 241-268. ISBN 978-0-8218-1428-4. Zbl 0341.10026. 
• Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 49 (Second edición). p. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002. 

• Traducción al inglés del discurso original de Hilbert