En matemáticas, las series hipergeométricas básicas, o q-series hipergeométricas, son generalizaciones q-análogas de las series hipergeométricas generalizadas, y son a su vez generalizadas por las series hipergeométricas elípticas. Una serie xn se denomina hipergeométrica si la relación de los términos sucesivos xn+1/ xn es una función racional de n. Si la razón de términos sucesivos es una función racional de qn, entonces la serie se denomina serie hipergeométrica básica. El número q se llama base.
La serie hipergeométrica básica
fue considerada por primera vez por Eduard Heine en 1846. Se convierte en la serie hipergeométrica
en el límite cuando la base
.
Definición
Hay dos formas de series hipergeométricas básicas, la serie hipergeométrica básica unilateral φ, y la serie hipergeométrica básica bilateral más general ψ. La serie hipergeométrica básica unilateral se define como
![{\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+k-j}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274d2ef79218e289c26f62120cb6dcfcc6636248)
donde
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec36d7348a3c42b2d6475e1a8e7891406eba03b1)
y
![{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46d2065b6578f314f0353ee519c16683dd948b4)
es el símbolo q-Pochhammer. El caso especial más importante es cuando j = k + 1, que se convierte en
![{\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad1d2c40066f9722474a75221d2130171a98655)
Esta serie se llama balanceada si a1 ... ak + 1 = b1 ...bkq. La serie se llama bien equilibrada si a1q = a2b1 = ... = ak + 1bk y muy bien equilibrada si además a2 = −a3 = qa11/2. La serie hipergeométrica básica unilateral es un q-análogo de la serie hipergeométrica ya que
![{\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159201006a53d31858f77e27dc79f35869dd8740)
se cumple (Koekoek y Swarttouw (1996)).
La serie hipergeométrica básica bilateral, correspondiente a la serie hipergeométrica bilateral, se define como
![{\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{k-j}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501e00fbffa51da9bab6469656fbf853df7d794c)
El caso especial más importante es cuando j = k, puesto que se convierte en
![{\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba22c851d35068e0fdf285feb4ba9a3d68f066fd)
La serie unilateral puede obtenerse como un caso especial de la bilateral igualando una de las variables b a q, al menos cuando ninguna de las variables a es potencia de q, ya que todos los términos con n < 0 desaparecen.
Series simples
Algunas expresiones de series simples son
![{\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade77e25842ebcf32016af8a9b42c32aeaf9fefb)
,
![{\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015a6d86d3f197d4b4bd71f2d416b4af29b20b24)
y
![{\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2d19a913425e0c8f743c86adc581dc53295c7b)
El teorema q-binomial
El teorema q-binomial (publicado la primera vez en 1811 por Heinrich August Rothe)[1][2] establece que
![{\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9bdd328bd9a9250a770d388c5b22a4e7c1d26f)
la cual se se obtiene aplicando repetidamente la identidad
![{\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bbd8d1ba70bf0872ae1f41e629737a3832845e)
El caso especial de a = 0 está íntimamente relacionado con la q-exponencial.
Teorema binomial de Cauchy
El teorema binomial de Cauchy es un caso especial del teorema q-binomial.[3]
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5cf4c1ffb61a36756830cd12e69d0f07f23d43a)
Identidad de Ramanujan
Srinivasa Ramanujan dio la identidad
![{\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1501ead1fa67d4b8da9f766d8a902d660e7c124f)
válida para |q| < 1 y |b/a| < |z| < 1. Identidades similares para
habían sido dadas por Bailey. Tales identidades pueden ser entendidas como generalizaciones del producto triple de Jacobi, que pueden ser escritas usando q-series como
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acfa6953004a47122a13b59982e8a951744ab032)
Ken Ono dio una serie de potencias formal relacionada[4]
![{\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eed2c0f3e7796a95966e61e27f1816616190c32)
Integral de contorno de Watson
Como un análogo de la integral de Barnes para las series hipergeométricas, Watson mostró que
![{\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140cb7975da2bc84efc1a593888737424d318940)
donde los polos de
se encuentran a la izquierda del contorno y los polos restantes se encuentran a la derecha. Hay una integral de contorno similar para r+1φr. Esta integral de contorno da una continuación analítica de la función hipergeométrica básica en z.
Versión matricial
La función hipergeométrica básica matricial se puede definir de la siguiente manera:
![{\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c87362e0679670133d16c8d23ed8cd7625b7c3e)
El criterio del cociente muestra que esta función matricial es absolutamente convergente.[5]
Véase también
Notas
- ↑ Bressoud, D. M. (1981), «Some identities for terminating q-series», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 89 (2): 211-223, Bibcode:1981MPCPS..89..211B, MR 600238, doi:10.1017/S0305004100058114 ..
- ↑ Benaoum, H. B. (1998), «h-analogue of Newton's binomial formula», Journal of Physics A: Mathematical and General 31 (46): L751-L754, Bibcode:1998JPhA...31L.751B, S2CID 119697596, arXiv:math-ph/9812011, doi:10.1088/0305-4470/31/46/001 ..
- ↑ Wolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem
- ↑ Gwynneth H. Coogan and Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions, (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719–724
- ↑ Ahmed Salem (2014) The basic Gauss hypergeometric matrix function and its matrix q-difference equation, Linear and Multilinear Algebra, 62:3, 347-361, DOI: 10.1080/03081087.2013.777437
Referencias
- Plantilla:Dlmf
- W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
- William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series (2004)
- Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
- Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's
Summation - Fine, Nathan J. (1988), Basic hypergeometric series and applications, Mathematical Surveys and Monographs 27, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1524-3, MR 956465 .
- Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 96 (2nd edición), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719 .
- Heine, Eduard (1846), «Über die Reihe
», Journal für die reine und angewandte Mathematik 32: 210-212 . - Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
- Koekoek, Roelof; Swarttouw, Rene F. (1996), The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, Technical University Delft, no. 98-17 .. Section 0.2
- Andrews, G. E., Askey, R. and Roy, R. (1999). Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 71, Cambridge University Press.
- Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125.
- Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.
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