Teorema de Morera

En análisis complejo, una rama de matemáticas, el Teorema de Morera, que recibe el nombre del matemático italiano Giacinto Morera (1856-1909), proporciona un criterio importante para demostrar que una función es holomorfa.

Sea ${\displaystyle f}$ una función de variable compleja definida en un conjunto abierto conexo ${\displaystyle D}$ en el plano complejo que satisface

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$

para cada curva ${\displaystyle \gamma }$ que sea ${\displaystyle C^{1}}$ a trozos en ${\displaystyle D}$, entonces ${\displaystyle f}$ debe ser holomorfa en ${\displaystyle D}$.

La suposición del Teorema de Morera es equivalente a que ${\displaystyle f}$ tiene una primitiva en ${\displaystyle D}$.

El inverso del teorema no es cierto en general. Una función holomorfa no necesita poseer una primitiva en su dominio, a no ser que se impongan hipótesis adicionales. El inverso se cumple, por ejemplo, si el dominio ${\displaystyle D}$ es simplemente conexo; esto es el teorema integral de Cauchy, el cual establece que la integral de línea de una función holomorfa a lo largo de una curva cerrada es cero.^[1]​

El contraejemplo estándar es la función f(z) = ${\displaystyle 1/z}$, la cual es holomorfa en ${\displaystyle \mathbb {C} -\{0\}}$. En cualquier entorno simplemente conexo U en ${\displaystyle \mathbb {C} -\{0\}}$, ${\displaystyle 1/z}$ tiene una primitiva definida por L(z) = ln(r) + iθ, donde z = re^iθ. Debido a la ambigüedad de θ bajo la adición de cualquier múltiplo entero de 2π, cualquier elección continua de θ en U bastará para definir una primitiva de ${\displaystyle 1/z}$ en U. Dado que la derivada de una constante aditiva es 0, se le puede sumar cualquier constante a la primitiva, y el resultado continúa siendo una primitiva de ${\displaystyle 1/z}$.

En cierto sentido, la función ${\displaystyle 1/z}$ es un contraejemplo universal: para cada función analítica que no tiene primitiva en su dominio, la razón para esto es que ${\displaystyle 1/z}$ no tiene primitiva en ${\displaystyle \mathbb {C} -\{0\}}$.