Teorema geométrico de Euler
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En geometría, el teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro de un triángulo, cumple la relación siguiente:[1][2][3][4]
o de forma equivalente
donde R y r denotan el circunradio y el inradio (los radios de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia inscrita respectivamente).
El teorema recibe su nombre en memoria de Leonhard Euler, quien lo publicó en 1767,[5] aunque el mismo resultado ya había sido dado a conocer por William Chapple en 1746.[6]
Del teorema se deduce la Desigualdad de Euler:[2][3]
que se convierte en una igualdad solo en el caso del triángulo equilátero.[7]: p. 198
Demostración
![{{{Alt](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/GeometryEulerTheorem.png/600px-GeometryEulerTheorem.png)
Siendo O el circuncentro de triángulo ABC, e I su incentro, la extensión de AI cruza la circunferencia circunscrita en L. Entonces, L es el punto medio del arco BC. Se unen LO y se extiende hasta cruzar la circunferencia circunscrita en M. Se construye ahora una perpendicular a AB, desde I, siendo D su pie, así que ID = r. No es difícil de probar que el triángulo ADI es similar al triángulo MBL, así que ID / BL = AI / ML; y por lo tanto ID × ML = AI × BL. En consecuencia, 2Rr = AI × BL. Únase BI. Debido a que
- ∠ BIL = ∠ A / 2 + ∠ ABC / 2,
- ∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ A / 2,
se tiene que ∠ BIL = ∠ IBL, y así BL = IL, y AI × IL = 2 Rr. Extendiendo OI de modo que cruce la circunferencia circunscrita en P y Q; entonces PI × QI = AI × IL = 2Rr, así que (R + d)(R − d) = 2Rr, entonces d2 = R(R - 2r).
Versión fuerte de la desigualdad
Una versión más fuerte es[7]: p. 198
Véase también
- Teorema de Fuss para la relación entre las mismas tres variables en cuadriláteros bicéntricos.
- Teorema de clausura de Poncelet, mostrando que hay una infinidad de triángulos con el mismo R, r, y d.
- Anexo:Desigualdades del triángulo
Referencias
- ↑ Johnson, Roger A. (2007) [1929], Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., p. 186 ..
- ↑ a b Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions 36, Mathematical Association of America, p. 56, ISBN 9780883853429 ..
- ↑ a b Debnath, Lokenath (2010), The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific, p. 124, ISBN 9781848165250 ..
- ↑ Dunham, William (2007), The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work, Spectrum Series 2, Mathematical Association of America, p. 300, ISBN 9780883855584 ..
- ↑ Euler, Leonhard (1767), «Solutio facilis problematum quorumdam geometricorum difficillimorum», Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (en latin) 11: 103-123 ..
- ↑ Chapple, William (1746), «An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles», Miscellanea Curiosa Mathematica 4: 117-124 ..
- ↑ a b Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), «Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities», Forum Geometricorum 12: 197-209 ..
Datos: Q1423818
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