Test de convergencia

Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada. Busca fuentes: «Test de convergencia» – noticias · libros · académico · imágenes Este aviso fue puesto el 15 de abril de 2018.

En matemáticas, los test de convergencia son métodos para evaluar la convergencia, la convergencia condicional, la convergencia absoluta, el intervalo de convergencia y divergencia de una serie infinita.

También denominado test preliminar.^[1]​ Si el límite del sumando es indefinido o distinto de cero, es decir, si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ entonces la serie diverge. En este sentido, las sumas parciales son Sucesión de Cauchy si y solo si este límite existe y es igual a cero. El test no es concluyente si el límite del sumando es cero.

Suponemos que existe ${\displaystyle r}$ tal que: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie es divergente. Si r = 1, el test no es concluyente, y la serie puede converger o divergir.

Definimos r cómo:

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

donde "lim sup" denota el límite superior (posiblemente ∞; si el límite existe y es del mismo valor).

Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, el test no es concluyente, y la serie puede converger o divergir.

La serie se puede comparar con una integral y establecer de esta forma la convergencia o divergencia de la misma. Si ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$ es una función positiva y monótona decreciente tal que ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$. Si

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$

entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace. De esta forma, la serie converge si y solo si la integral converge.

Si la serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ es absolutamente convergente y ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$ para a n suficientemente grande, entonces la serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge absolutamente.

Si ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$, y el límite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ existe y es diferente de cero, entonces ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge si y solo si ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ converge.

Sea ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ una secuencia positiva no creciente. Entonces la suma ${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converge si y solo si la suma ${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$ converge. Además, si convergen, entonces ${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$.

Suponiendo que las siguientes condiciones se cumplen:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$ es una serie convergente,
2. ${\displaystyle b_{n}}$ es una sucesión monótona y limitada

Entonces ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ es también convergente. Nótese que este criterio es especialmente útil en el supuesto de que ${\displaystyle \sum a_{n}}$ sea una sucesión convergente no absoluta (léase condicional). En el caso de que sea absolutamente convergente, a pesar de aplicarse, es casi un corolario evidente.

También conocido como Criterio de Leibniz, suponemos que las siguientes suposiciones son ciertas:

1. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ es una serie cuyos términos oscilan entre valores positivos y negativos,
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$,
3. el valor absoluto de cada término es menor que el valor absoluto del término precedente.

Entonces podemos afirmar que:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ es una serie convergente.

• Regla de l'Hôpital

• Flowchart for choosing convergence test Archivado el 8 de agosto de 2010 en Wayback Machine.
• Convergence of infinite serías Archivado el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine.