«Pi» orriak hona dakar. Bestelako esanahiei buruzko orria hau da: «Pi (argipena)»
Zirkulu baten zirkunferentziaren luzera diametroa π aldiz da.
zenbakia (pi ahoskatua) konstante matematiko bat da. Originalki zirkulu baten zirkunferentzia eta bere diametroaren arteko harreman gisa adierazten zen, baina gaur egun hainbat definizio pareko ditu, eta formula anitzetan agertzen da matematika eta fisikako esparru guztietan. Gutxi gora behera 3,14159 balio du. greziar letra erabili izan da XVIII. mendearen ondotik.
Zenbaki irrazional bat izanda, ezin da adierazi zatiki baten moduan. ren errepresentazio dezimala ez da inoiz amaitzen eta ez du errepikatzen den patroirik. Hala ere, bezalako zatikiak eta beste zenbaki arrazional batzuk erabili izan dira zenbakira hurbildu ahal izateko. Ematen duenez, dezimaletako zenbakiak ausaz daude banatuak. Uste da zenbakiaren digituen sekuentziak ausazko banaketa estatistiko mota bat dela, baina gaur egun ez da honen inguruko froga zehatzik lortu. zenbaki transzendental bat da; hau da, ez da koefiziente arrazionalak dituen zero-ez-den polinomio baten erroan dagoen zenbaki bat. ren transzendentzia honek esan nahi du ezinezkoa dela antzinarotik hedatu izan den zirkuluaren koadratura ebaztea erregela eta konpasa erabilita.
Antzinaroko zibilizazioek arrazoi praktikoak direla eta ren balio nahiko zehatzak behar zituzten. Antzinako Egiptoko eta Babiloniako matematikan jada egin ziren kalkulu nahiko zehatzak. K.a. 250.urtearen inguruan Arkimedes greziar matematikariak algoritmo bat sortu zuen kalkulatu ahal izateko. Txinako matematikariek zazpi digituko gerturapena eskuratu zuten, metodo geometrikoak bakarrik erabilita, eta bost digituko gerturapena Indiako matematikariek V. mendean. Serie infinitutan oinarritutako ren lehen formula historiko zehatza milurteko bat beranduago aurkitu zen, Indiako matematikariek Madhava–Leibniz seriea aurkitu zutenean[1][2]. XX. eta XXI. mendean matematikariek eta informatikariek gerturapen berriak asmatu zituzten, eta ordenagailuen boterearen handitzearekin, ren errepresentazio dezimala hainbat bilioi digituraino zabaldu zen[3]. Aplikazio zientifiko ia guztiek ez dute behar ren ehun digitu baino gehiago behar eta askok askoz gutxiago, beraz gaur egungo dezimalen bilaketa honen helburu nagusia algoritmo hobeak aurkitzea da, eta errekor berriak hausteko nahia[4][5]. Kalkulu estentsibo horiek superordenadoreak eta algoritmoen biderketen prezisio altua frogatzeko erabiltzen dira.
Bereziki zirkuluei lotuta definitzen delako, trigonometria eta geometriako formula askotan agertzen da, bereziki zirkulu, elipse eta esferekin lotuta daudenak. Analisi matematiko modernoan, zenbaki errealen sistemaren ezaugarri espektralak erabiltzen definitzen da, periodo baten autobalio gisa, geometriari erreferentziarik egin gabe. Horregatik, matematikako eta zientzietako hainbat eremutan agertzen da, geometria eta zirkuluekin harremanik izan gabe ere; zenbakien teorian eta estatistikan eta fisikako eremu ia guztietan agertzen da . Nonahikotasun honek konstante matematiko ezagunetako bat izatea dakar, komunitate zientifikoaren barruan zein kanpoan. Zenbakiari dedikatutako liburu asko argitaratu dira, Pi Eguna ospatzen da eta ren digitu berriak kalkulatzen direnean albiste izan ohi da. ren balioa memorizatzeko lehiaketak egiten dira, eta gaur egun errekorra 70.000 digitutan ezarria dago[6].
«
Harrigarria da zenbait zenbaki naturan ere aurkitzea, esate baterako π eta e zenbaki irrazionalak. Desintegrazio erradioaktiboan ere agertzen dira. Pentsatzeko ematen dute. Ezin dira digituen bidez adierazi. Zenbaki horiek idazten hasi eta inoiz ez duzu amaituko, infinitura zoaz, baina aldi berean logikoak dira. Eta logika hori aurki dezakegu bai gizakion baitan eta bai antza denez gizakiongandik aparte ere badagoen errealitatean. Matematikak gizakia gainditzen duena ere ulertzeko balio izate horixe da, nolabait esateko, zientzialarion sinesmena.
Pi hizki grekoa. William Jonesek planteatutako ikurra 1706an eta Leonhard Eulerrek gizarteratua ondoren.
π hizki grekoa “περιφέρεια”, zirkulu baten periferia, eta “περίμετρον”, zirkulu baten perimetroa, hitzen inizialetatik dator, William Oughtred-ek ( 1574-1660) erabilitako notazioa lehenik eta William Jones( 1675-1749) matematikariak proposatua ondoren; Leonhard Euler matematikaria ezagutarazi zuena izan arren, 1748. urtean egindako kalkulu infinitesimalaren hastapenak lanarekin. Lehen Ludolph-en konstantea (Ludolph van Ceulen matematikariaren ohorean) edo Arquimedesen konstantea bezala ezagutua izan zen (ez nahastu Arquimedesen zenbakiarekin). Jonesek zenbaki honen izena eta ikurra planteatu zituen 1706an eta Eulerrek hedatzen hasi zuen 1736an.
Ezaugarri matematikoak
r luzerako aldea duen karratu baten eta r erradioko zirkulu baten arteko erlazioa erakusten da. Zirkuluaren azalera da.
Definizioak eta ezaugarriak
Zirkunferentzia baten eta bere diametroaren arteko erlazioa konstantea dela frogatu zuen lehenengo pertsona Euklides izan zen, baina, zenbait definizio existitzen dira π zenbakirako:
Zirkunferentzia baten eta bere diametroaren arteko luzeraren arrazoia π da. (hau da arruntena)
Zirkulu unitario baten azalera π da( 1 luzerako erradiokoa, ohiko plano geometrikoan edo plano euklidearrean)
π da X zenbaki erreal positibo txikiena, zeinetarako sin(x)=0 den.
Eulerren identitateak hainbat soluzio onartzen ditu, haietako txikiena π da.
ekuazioa diferentziala mugalde-baldintzekin eta soluzio bakarrarekin, Picard-Lindelöf-ren teoremaren bidez kalkulatua, π bere erro positibo txikiena duen funtzio analitikoa da( funtzio trigonometrikoa) .
Zenbaki irrazional eta transzendentea
Zenbaki irrazional bat denez, ezin da jarri bi zenbaki osoren arteko zatiketa moduan, 1761an Johann Heinrich Lambert frogatu zuen bezala. Zenbaki transzendentea da ere, hau da, ez da koefiziente osoenpolinomio baten erroa. XIX. Urtean Ferdinand Lindeman matematikari alemaniarrak hori frogatu zuen, horrela zirkuluaren koadraturaren problemaren ikerketa itxita geratu zen, ebazpenik ez zuela adieraziz. π zenbakia Liouville zenbaki ez dela jakina da ere( Mahler, 1953).
Lehenengo berrogeita hamar zifra hamartar
Zenbaki arrazionala izan arren, oraindik hamartar kopuru handiena aurkitzeko asmoarekin aztertzen hari da. Hauek dira lehenengo berrogeita hamarrak:
zenbaki honen sekuentzia handiagoak ikusteko joan erreferentzietara edo ikusi Las primeras diez mil cifras decimales.
Zientzian eta ingenierian, konstante hau gehienetan dozena bat dezimalekin erabiltzen da. Berrogei dezimalekin Esne Bidearen kurbatura deskribatu daiteke, protoi baten tamaina baino txikiagoa den errorearekin.
X ardatzak eta zikloidearen arku batek mugatutako eskualdearen azalera: 3 π a2
Kardioideak sortutako eskualdearen azalera: (3/2) π a2
Agnesiren kurbaren ata asintotaren arteko eskualdearen azalera: πa2
Probabilitatean
Ausaz aukeratutako bi zenbaki oso euren artean lehenak izan daitezeneko probabilitatea 6/π² da
1 baino txikiagoak diren bi zenbaki positibo hartuta, 1 zenbakiarekin batera hiruko kamuts bateko aldeak izan daitezeneko probabilitatea (π-2)/4 da.
Buffonen orratza: ausaz, airera, orratz bat botatzen badugu, L luzerakoa dena eta gainazal batean erortzen badira non D distantziara dauden lerro paraleloak marraztuta dauden, orratzak lerro bat mozteko probabilitatea Lπ/2D da.
Gainera πk frakzio jarrai gisa hainbat formula ditu. konturatu zenbaki bakoitiak direla zatitzen agertzen direnak, eta zenbaki osoen karratuak beraien zatitzaile bezala:
(http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ helbidean beste 12 errepresentazio ezberdin daude)
πren irrazionaltasuna dela eta kalkuluak gerturatzen ahalik eta zehatzenekin egin behar da, baina beti hurbilketekin. Normalki 3,14 edo 22/7 baloreak hartzen dira, benetako baloretik % 0,05 baino ez dira urruntzen. Fisikan eta ingeniaritzan 3,1416 erabili ohi da (edo 3,14159) zirkunferentzia batean zehaztasuna lortzeko.
π: 355/113 zatikia ere askotan erabiltzen da eta lehenengo zazpi zenbakietan bat egiten du.
Lehen konputagailuaren diseinutik, ahalik eta zifrarik handienarekin hasi ziren, eta, beraz, programa batzuk garatzen. Horrela, 1949an ENIAC bat errekorra hausteko gai izan zen, 70 ordutan 2037 zifra hamartar lortuz. Pixkanaka, markak hausten zituzten ordenagailuak sortu ziren, eta, horrela, urte batzuk geroago (1954), 3092 zifrara iritsi zen NORAC bat. 1960ko hamarkada osoan zehar, IBMek markak hautsi zituzten, harik eta IBM 7030 bat 1966an 250 000 zifra hamartarretara iritsi zen arte (8 ordu eta 23 minututan). Garai honetan, algoritmoak dituzten ordenagailu berriak probatzen dira {\displaystyle\pi}\pi zenbaki-serieak sortzeko.
2000ko hamarkadan, ordenagailuek hamartar kopuru izugarria duten zenbakiak lortzeko gai dira. 2009an bi bilioi eta erdi pi hamartar baino gehiago aurkitu ziren T2K Tsukuba System superkonputagailu baten bidez, errendimendu handiko 640 konputagailuz osatua, elkarrekin 95 teraflops prozesatzeko abiadurak lortzen dituztenak. 73 ordu eta 36 minututan lortu zuten.[9]
Urtea
Aurkitzailea
Erabilitako ordenagailua
Zifra dezimalen kopurua
1949
G.W. Reitwiesner eta beste batzuk[10]
ENIAC
2.037
1955
MORC
3.089
1959
Guilloud
IBM 704
16.167
1967
CDC 6600
500.000
1973
Guillord eta Bouyer[10]
CDC 7600
1.001.250
1981
Miyoshi eta Kanada[10]
FACOM M-200
2.000.036
1982
Guilloud
2.000.050
1986
Bailey
CRAY-2
29.360.111
1986
Kanada eta Tamura[10]
HITAC S-810/20
67.108.839
1987
Kanada, Tamura, Kobo eta beste batzuk
NEC SX-2
134.217.700
1988
Kanada eta Tamura
Hitachi S-820
201.326.000
1989
Chudnovsky Anaiak
CRAY-2 eta IBM-3090/VF
480.000.000
1989
Chudnovsky Anaiak
IBM 3090
1.011.196.691
1991
Chudnovsky Anaiak
2.260.000.000
1994
Chudnovsky Anaiak
4.044.000.000
1995
Kanada eta Takahashi
HITAC S-3800/480
6.442.450.000
1997
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR2201
51.539.600.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Kanada eta Takahashi
Hitachi SR8000
206.158.430.000
2002
Kanada i altres[10] [1] Artxibatua 2006-09-07 hemen: Wayback Machine
Hitachi SR8000/MP
1.241.100.000.000
2004
Hitachi
1.351.100.000.000
2011
Yee i Kondo [2]
Intel
10.000.000.000.000
2013
Yee i Kondo [3]
Intel
12.100.000.000.050
2019
Emma Haruka Iwao [4]
Google
31.415.926.535.897
Pi zenbakiaren lehen mila zifrak
Hauek dira pi zenbakiaren lehen mila zifra dezimalak:
πren balorea modu geometriko batean kalkulatzea erraza da. Berez Greziarrak πren balioa kalkulatzen saiatu ziren erregela eta konpasa erabiliz, arrakastarik gabe. Greziarren arazoak, zirkuluaren koadratura edo berdina dena edozein zirkuluren azalera berdina duen karratu bat lortzeak πren balio zehatza jakitea dakar..
π erregela eta konpas batekin kalkulatzea ezinezkoa zela behin demostratuta, hainbat metodo sortu ziren nahiko zehatz kalkulatu ahal izateko. Bi soluzio horietako hoberenak Kochanskik (erregela eta konpasarekin) eta Marcheronik (konpasa baino ez) asmatu zituzten..
Kochanskiren metodoa
Kochanskiren metodoa
Frogapena (R = 1)
Lehenengo formulan aldatuz:
Mascheroniren metodoa
Mascheroniren metodoa
Frogapena (R = 1)
ABEB' Kuadrillateroaren Ptolomeoren teorema dela eta:
π herri kulturan
Komunikabideetan agertzea
1998an, Darren Aronofsky zuzendariaren Pi izeneko film bat agertzen da, mundua zenbakien bidez irudikatzen dela uste duen matematikari bati buruzkoa.
Alfred Hitchcockek bere Cortina rasgada filmean, espioitza erakunde gisa agerrarazten du.
The Net filmean, The Mozart Ghost izeneko programa bateko kontzertu- eta musika-orrialde baten behealdeko eskuinaldean agertzen da. Itxura batean, apaingarri bat baino ez da, baina CRTL+ALT+Clic presionatzen denean, Ateko Zaindariaren datuen interfazera sartzen da, erabiltzaile bat eta pasahitz bat eskatzen zituen pretoriarren programa batera.
The Simpsons marrazki bizidunen seriean, «Bye Bye Nerdie» atalean, Frink irakasleak «Hiru da zehazki !» oihukatzen du, ahoz aho, zientzialariz osatutako entzulego baten arreta erakartzeko. Denak hari begiratzeko jiratzen direnean, barkamena eskatzen du horrelako sakrilegioa egitera behartua izateagatik.
Futurama seriean, hainbat erreferentzia agertzen dira: «aceite En 1» eta «compre Kea».
Carl Saganen Kontaktua nobelak — ondoren izen bereko filma filmatu zen — unibertsoaren esentzia bera ezkutatzen duen zenbakitzat hartzen du.
Bitxikeriak
Leintz Gatzagako frontoian X10 grafitigile anonimoak egindako ekarpen artistikoa.Martxoaren 14anPi eguna ospatzen dute askok, data begiratuz 3-14 baita, hau da 3,14 = Pi.[9]
Arkimedesen metodoa ez zen ia bi mila urtean gainditu, nahiz eta aurrerapen handiak egin zituen zenbakizko ebaluazioan.
Posidoniok erabilitako Piren balioa (135-51 a. C.) zuzena izan behar zuen zenbait zifra hamartarretan. Lurraren zirkunferentziarako lortu zuen balioa hiru mende geroago Klaudio Ptolomeo alexandriar astronomoak hartu zuen, eta askoz geroago Kristobal Kolonek, beste askoren artean.65
Martxoaren 14a ere (3/14 Estatu Batuetako formatuan) egun pi bezala markatzen da, non ale honetako zaleek hainbat emanaldirekin ospatzen duten. Bitxia bada ere, Albert Einsteinen urtebetetzea eta Stephen Hawkingen heriotzaren urteurrena da.
355/113 (~ 3.1415929) simulazio ia perfektu gisa aipatzen da batzuetan!
Literaturako Nobel saridun Wis○ awa Szymborskak «Pi zenbakia» (Liczba Pi) izeneko poema bat idatzi zuen, eta bertan, bere ordenan, Piren lehen 25 digituak erabiltzen ditu.
John Squirek (The Stone Roses taldekoa) «Something Tells Me» aipatzen du bere bigarren taldearentzat idatzitako abesti batean. Abestia honela amaitzen da: «What 's the secret of life? It 's 3.14159265, yeah yeah! !».
Donald Knuth-en TeX testu-tratamenduko programaren bertsioen zenbaketa, berriz, Knuth-en digituen arabera egiten da. 2002ko bertsioa 3.141592 etiketarekin etiketatu zen.
Zenbaki hori lurrak bidalitako seinaleetan erabiltzen da, zibilizazio adimendun estralurtar batek identifikatzeko.
Badira programa batzuk Interneten zure telefono zenbakia bilatzen dutenak.
Programazio-lengoaia batzuetan, nahi adina digitu jakin daitezke, honako esamolde hauek erabiliz: RealDigits [N [Pi, 105]] «Mathematica» -n.
2002an, Akira Haraguchi japoniarrak munduko errekorra hautsi zuen, 13 orduz pi zenbakiaren 83 431 digitu etengabe errezitatuz, aurreko errekorra bikoiztuz, Hiroyuki Goto japoniarraren jabetzan. 2006ko urriaren 4an, goizaldeko 1: 30ean, eta 16 ordu eta erdiren ondoren, Haraguchik bere errekorra hautsi zuen berriro, pi zenbakiaren 100.000 digitu errezitatuz, airea hartzeko bi orduko 10 minutuko geldialdia eginez.
pi hedapen hamartarrean lau digitu dituen edozein egun-hilabete-urte sekuentzia bilatzeko beharrezkoa den baleko digitu kopuru maximoa 60.872 da.
Badago Kate Bushen «Pi» izeneko abesti bat, zenbakiaren hogei digitu hamartar baino gehiago errezitatzen dituena.
Argentinan, tren-geltokietako eta lurpeko geltokietako larrialdietarako telefono mugikorra 31416 da.
Erreferentziak
↑1938-, Andrews, George E.,. (1999). Special functions. Cambridge University Press ISBN 0521789885. PMC 852896189..
↑Gupta, R.C. "On the Remainder Term in the Madhava-Leibniz's series." Canita Bhdrati 14: 68-71, 1992.
↑«22.4 trillion digits of pi» www.pi2e.ch(Noiz kontsultatua: 2018-03-06).
↑1964-, Arndt, Jörg,. (2001). Pi-unleashed. Springer ISBN 9783540665724. PMC 45394279..
↑(Ingelesez)Bailey, David H.; Plouffe, Simon M.; Borwein, Peter B.; Borwein, Jonathan M.. (1997-12-01). «The quest for PI» The Mathematical Intelligencer 19 (1): 50–56. doi:10.1007/BF03024340. ISSN 0343-6993. (Noiz kontsultatua: 2018-03-06).
↑(Ingelesez)«Most Pi places memorised» Guinness World Records(Noiz kontsultatua: 2018-03-06).
↑«JOSE RAMON ETXEBARRIA, INGENIARIA, IRAKASLEA ETA IDAZLEA “Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materiamultzo bat gara”» eu.wikisource.org(Noiz kontsultatua: 2021-03-05).
↑Zapiain, Markos. (2020-02-05). «“Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materiamultzo bat gara” JOSE RAMON ETXEBARRIA, INGENIARIA, IRAKASLEA ETA IDAZLEA» www.noticiasdegipuzkoa.eus(Noiz kontsultatua: 2021-03-04).