Käyrän y=f(x), x-akselin sekä suorien x=a ja x=b väliin jäävä tasokuvio S, jonka pinta-ala yritetään määrittääRiemann-summien jono tasaväliselle ositukselle. Yläkulman luku on nelikulmioiden pinta-alojen summa, joka suppenee kohti integraalin arvoa osituksen tihetessä.Välin ositus voi olla epäsäännöllinen, kunhan jokaisen osavälin pituus lähestyy nollaa.
Riemannin integraali on määrätty integraali, joka määrittää funktion kuvaajan alle jäävän etumerkillisen pinta-alan. Riemannin integraali määritellään jakamalla integroimisväli osaväleihin, joiden sisällä integroitavaa funktiota approksimoidaan vakiolla, ja laskemalla saatavat pinta-alat yhteen. Kun jakoa tihennetään, arvioi saatava summa integraalia yhä paremmin. Riemannin integraali saadaan tämän prosessin raja-arvona. Jatkuvan funktion Riemannin integraali voidaan laskea derivoinnin käänteisoperaationa analyysin peruslauseen avulla.
On olemassa funktioita, jotka ovat hyvin epäjatkuvia ja joita ei voi visualisoida yksinkertaisesti käyränä. Tällaisille funktioille ei voi laskea Riemannin integraalia, mutta esimerkiksi matemaattisesti hienostuneempi Lebesguen integraali saattaa olla olemassa. Jos funktion Riemannin integraali on olemassa, se vastaa arvoltaan Lebesguen integraalia.
Riemannin integraali oli ensimmäinen funktiolle reaaliakselin välin yli täsmällisesti määritelty integraali. Se on nimetty kehittäjänsä Bernhard Riemannin mukaan, joka esitteli sen vuonna 1854 habilitaatiotutkielmassaan. Riemann käytti määrittelemäänsä integraalia tutkiessaan Fourier-sarjojen suppenemisominaisuuksia.[1]
Sisällys
1Määritelmä
1.1Riemannin summa ja integraali
1.2Darboux'n integraali
1.3Määritelmän yleistäminen
1.3.1Epäoleellinen integraali
2Ominaisuuksia
2.1Riemann-integroituvia funktioita
2.2Riemann-integroituvien funktioiden integraalien ominaisuuksia
2.2.1Integraalilaskennan väliarvolauseita
2.3Riemann-integroituvien funktioiden jonojen ominaisuuksia
3Integraalin arvon määrääminen
3.1Analyysin ensimmäinen peruslause
3.1.1Esimerkki
3.2Integrointi sijoittamalla
3.2.1Esimerkki
3.3Osittaisintegrointi
3.3.1Esimerkki
4Sovelluksia
4.1Tasokuvion pinta-ala
4.2Käyrän pituus
4.3Käyrän pyörähdyskappaleen tilavuus
4.4Käyrän pyörähdyskappaleen pinnan ala
5Katso myös
6Lähteet
7Kirjallisuutta
8Aiheesta muualla
Määritelmä
Riemannin integraalin määrittelyn tavoitteena on löytää yksiselitteinen pinta-ala reaalilukujen tason kuviolle, jonka rajaavat koordinaatistossa suorat , ja , sekä käyrä, missä on funktio . Tutkittavat pinta-alat ovat etumerkillisiä. Toisin sanoen, jos saa negatiivisia arvoja, ovat pinta-alat negatiivisia. Tason kuvaamiseen käytetään merkintää:
Funktion halutaan sallia olevan mahdollisimman yleinen, toisin sanoen tässä ei rajoituta integroitaviin funktioihin, jotka ovat jossakin mielessä sopivan sileitä. Tämän vuoksi tässä esiteltävä määritelmä saattaa olla monimutkaisempi kuin joissakin oppikirjoissa.
Tämä määrittely tehdään jakamalla väli osaväleihin, joita sitten tihennetään äärettömästi. Jokaisella osavälillä suoran ja käyrän väliin jäävää pinta-alaa approksimoidaan suorakulmioilla. Jaon tihentyessä suorakaiteiden pinta-alojen summan pitäisi supeta kohti kysyttyä pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion arvo osavälin mielivaltaisessa pisteessä, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. Tässä annetaan kuitenkin myös Darboux'n integraalin määritelmä, missä valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion maksimi ja minimi kullakin osavälillä, ja sen jälkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux'n ylä- ja alasumma, toisiinsa.
Riemannin integraalia määritettäessä jaetaan funktion tutkittava väli osaväleihin, jolloin jakopisteinä ovat , joihin approksimoidaan suorakulmiot. Jakopisteiden tihentyessä infinitesimaalisen välimatkan päähän toisistaan saadaan funktion integraali summaamalla suorakulmiot.
Annetaan nyt muutama määritelmä, joilla saadaan muotoiltua vaadittava osavälien tihentäminen teknisesti. Olkoon ja . Välin -välinen jako on lukujono
,
jolle pätee kaikilla , ja . Tällöin välit , missä , muodostavat yhteisiä päätepisteitä lukuun ottamatta välin osituksen.
Jatkossa jaon merkitsemiseen käytetään symbolia , ja lisäksi oletetaan, että on -jakoinen, missä siis on luonnollisten lukujen jono. Jaon jakopisteitä merkitään symbolilla , missä , eli toisin sanoen
.
Jaon pisin jakoväli on luku
.
Jako on jaon tihennys, jos , eli jaossa on vähintään samat jakopisteet kuin jaossa . Jakojen jono on tihenevä, jos jokainen jako on sitä edeltävän jaon tihennys.
Riemannin summa ja integraali
Olkoon välin jako, ja jono
sellainen, että kaikilla .
Olkoon funktio . Funktion jakoa pisteissä vastaava Riemannin summa on
.
Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillistä pinta-alaa, jonka kanta on ja korkeus . Se voidaan täten mieltää etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennetään, mutta näin ei välttämättä ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle voidaan kaikille tiheneville jakojonoille valita pisteet siten, että vastaava Riemannin summien jono ei suppene.
Riemannin integraali määritellään seuraavaksi tihenevän jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei välttämättä ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niitä funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden valinnasta.
Olkoon jakojen jono tihenevä ja , kun . Tämän voi tulkita niin, että jaot hienonevat äärettömän tiheiksi koko välillä . Sanotaan, että funktion Riemannin summilla on raja-arvo, jos jokaiselle luvulle on olemassa luvut ja siten, että
, kun ,
ja on yksikäsitteinen kaikilla jonolla . Jos Riemannin summilla on raja-arvo , niin funktio on Riemann-integroituva välillä ja sen Riemannin integraali on luku . Tällöin merkitään
.
Tässä merkintätavassa funktiota kutsutaan integrandiksi.
Tämä määritelmä saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen käyttäminen monimutkaista. Seuraavaksi määritellään Darboux'n integraali, jonka määritelmä lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali. Darboux-integraalia käytetäänkin yleisesti mm. suomalaisessa lukio-opetuksessa.[2]
Darboux'n integraali
Olkoon reaalifunktio . Funktion Darboux'n yläsumma jaolla on
.
Vastaava Darboux'n alasumma on
.
Olkoon jakojen jono tihenevä ja , kun . Jaon ollessa tihenevä, ovat sekä Darboux'n ylä- että alasummien arvot, eli jonot ja , monotonisia. Darboux'n yläintegraali on yläsummien vähenevän jonon infimum, eli luku
.
Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku
.
Funktio on Darboux-integroituva, jos edellä mainitut raja-arvot ovat yhtäläiset eli
.
Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion Darboux'n integraaliksi yli välin .
Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin
.
Näistä syistä johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa määritellä kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitelläänkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina.
Darboux'n ylä- ja alasummat voidaan merkitä myös ja , joissa P on välin jako.
Määritelmän yleistäminen
Riemannin integraali yleistetään mielivaltaiselle integrandin lähtöjoukolle seuraavasti. Olkoon joukko sellainen, että , reaalifunktio ja sen rajoittuma välille . Jos on Riemann-integroituva, niin sanotaan, että on Riemann-integroituva välillä , ja funktion Riemannin integraaliksi yli välin määritellään
.
Lisäksi määritellään
ja
.
Epäoleellinen integraali
Epäoleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa väli, jonka yli integroidaan, lähestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edellä olevan määritelmän mukaan määritelty. Epäoleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eikä merkinnöissä näille tehdä yleensä eroa.
Ensiksi määritellään epäoleellinen integraali rajoitetulle suljetulle välille tapauksessa, jossa integrandi ei ole määritelty toisessa välin päätepisteessä. Toiseksi määritellään epäoleellinen integraali rajoittamattomalle välille.
Olkoon funktio Riemann-integroituva kaikilla väleillä . Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo
on olemassa eli reaaliluku, ääretön tai miinus ääretön, niin funktion epäoleellinen integraali yli välin on
.
Funktiolle epäoleellinen integraali määritellään samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta.
Olkoon funktio Riemann-integroituva kaikilla väleillä . Jos raja-arvo
on olemassa, niin funktion epäoleellinen integraali yli välin on
.
Samoin määritellään funktiolle
.
Ominaisuuksia
Koska Riemannin integraali on määritelty mittateoriasta riippumattomasti, ei se peri kaikkia yleisiä mittaintegraalin ominaisuuksia, vaan ne on johdettava sen määritelmästä analyysin menetelmin. Useimmat niistä ovat johdettavissa, mutta erityisesti konvergenssilauseita ei pysty Riemannin integraalille todistamaan ilman mittateoriaa. Ne ja kaikki muutkin mittaintegraalin ominaisuudet kuitenkin ovat voimassa, sillä Riemannin integraali yhtenee Riemann-integroituville funktioille joidenkin mittaintegraalien kanssa, esimerkiksi Lebesguen integraalin ja Riemann–Stieltjes-integraalin, jonka integraattori on identtinen kuvaus.
Riemann-integroituvia funktioita
Suljetulla välillä jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.
Riemann-integroituvien funktioiden integraalien ominaisuuksia
Jos ja ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin
Jos ja ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin kaikilla minmax
Jos ja ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin kaikilla minmax
Integraalilaskennan väliarvolauseita
Jos funktio on Riemann-integroituva välillä , niin
.
Jos on jatkuva välillä , niin on olemassa sellainen , että
.
Edellä olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi väliarvolauseiksi.
Jos funktiot ja ovat Riemann-integroituvia välillä , ja
,
niin
.
Jos on jatkuva välillä , niin on olemassa sellainen , että
.
Riemann-integroituvien funktioiden jonojen ominaisuuksia
Nimenomaan funktiojonoja tutkittaessa Riemannin integraalin tekniset puutteet tulevat esiin. Mittateoriassa on käytännöllisiä ja vahvoja konvergenssilauseita, joiden todistaminen on Riemannin integraalille mahdotonta pelkästään analyysin keinoin. Ne pätevät myös Riemannin integraalille, mutta tässä annetaan kaksi ilman mittateoriaa johdettavissa olevaa kaavaa integroimisen ja funktiojonon raja-arvon oton järjestyksen vaihtamiselle. Ne vaativat tasaisen suppenemisen ehdon, mikä on vaativampi ja monimutkaisempi kuin konvergenssilauseiden ehdot, jotka ovat funktiojonon monotonisuus tai funktiojonon rajoittuneisuus. Pelkkä pisteittäinen suppeneminen ei takaa integroimisen ja raja-arvon oton järjestyksen vaihdettavuutta.
Olkoon jono Riemann-integroituvia funktioita .
Jos suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava
.
Jos sarja
suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin summan raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava
.
Integraalin arvon määrääminen
Riemannin integraalin arvo voidaan laskea integraalifunktion avulla. Muita yleisiä apukeinoja ovat sijoittaminen eli muuttujanvaihto ja osittaisintegrointi.
Analyysin ensimmäinen peruslause
Analyysin ensimmäinen peruslause antaa yhteyden integraalifunktion ja Riemannin integraalin välille sekä hyvin käytännöllisen tavan Riemannin integraalien laskemiseen. Sen mukaan, jos on välillä jatkuva funktio ja jokin sen integraalifunktio, niin pätee yhtälö
.
Esimerkki
Analyysin peruslauseen käyttöä voi valaista seuraavalla esimerkillä. Lasketaan Riemannin integraalin
arvo. Koska funktiolle
pätee
,
niin analyysin peruslauseesta seuraa tulos
.
Integrointi sijoittamalla
Olkoon jatkuva funktio reaalivälillä . Jos funktio , jonka derivaatta on jatkuva ja jolle ja , niin
Tässä siis muuttujan tilalle sijoitetaan muuttujan kuvaus , eli identtisen kuvauksen tilalle sijoitetaan kuvaus . Tätä kutsutaan Riemannin integraalin muuttujanvaihtokaavaksi. Laskua, jossa etsitään kuvaus ja sijoitetaan se muuttujanvaihtokaavaan, kutsutaan sijoittamalla integroimiseksi.
Esimerkki
Tyypillistä sijoittamalla integroimista voi kuvata seuraavalla esimerkillä. Riemannin integraalin
laskeminen pelkän analyysin peruslauseen avulla lienee vaikeaa.
Sijoitetaan muuttujan tilalle kuvaus . Nyt edellä olevan kaavan merkinnöin
ja
.
Koska
ja ,
rajoiksi saadaan
ja
Sijoittamalla nämä arvot ja muuttujanvaihtokaavaan, saadaan
Tästä voidaan jatkaa ratkaisuun käyttämällä trigonometrisiä kaavoja ja analyysin peruslausetta. Koska saadaan:
Koska kosini on ei-negatiivinen kyseisellä integroimisvälillä, on
Sijoittamalla seuraa:
Edeltävästä esimerkistä seuraa lopputulos
Osittaisintegrointi
Osittaisintegrointi on operaatio, jonka merkitys riippuu asiayhteydestä, mutta osittaisintegrointikaava Riemannin integraalille pätee seuraavassa muodossa. Olkoon ja derivoituvia sekä derivaatat ja Riemann-integroituvia välillä . Tällöin
Esimerkki
Lasketaan Riemannin integraali osittaisintegroinnilla. On annettu integraali:
Valitaan osittaisintegrointikaavassa
Tällöin
Osittaisintegrointikaavan mukaan:
Sovelluksia
Riemannin integraali soveltuu määritelmänsä kautta luonnollisesti tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseen.
Tasokuvion pinta-ala
Tasokuvion, joka jää suorien ja sekä x-akselin ja jatkuvan funktion kuvaajan sisäpuolelle, pinta-ala on
.
Funktion f kuvaaja sinisellä, funktion g kuvaaja punaisella ja niiden väliin jäävä tasokuvio vaaleansinisellä
Yleisemmin, jos ja ovat jatkuvia funktioita ja , niin niiden kuvaajien sekä suorien ja väliin jäävän tasokuvion pinta-ala on
,missä ja ovat kuvauksia , joiden derivaatat ovat jatkuvia välillä . Tällöin käyrän pituus on:
Käyrän pyörähdyskappaleen tilavuus
Jos on jatkuva funktio, niin suorien ja ja käyrän x-akselin pyörähdyskappaleen tilavuus on
.
Käyrän pyörähdyskappaleen pinnan ala
Jos on funktio , joka on positiivinen välillä ja jonka derivaatta on jatkuva välillä , niin käyrän pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen pinnan ala on
↑Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader: The Princeton companion to mathematics, s. 124,775. Princeton: Princeton University Press, 2008. ISBN 978-1-4008-3039-8.
↑ ”Pinta-ala suorakulmioilla - ala- ja yläsumma”. fi-FI
Kirjallisuutta
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.