Virtafunktion tasa-arvokäyrät ovat virtauksen virtaviivoja. Kuvassa on virtaukseen asetetun sylinterin ympärille muodostuvia virtaviivoja.
Virtafunktio on kaksiulotteisen ja kokoonpuristumattoman virtaavan fluidin nopeutta kuvaava funktio. Virtafunktio on apuväline virtauksen jatkuvuusyhtälön sekä Navierin−Stokesin yhtälöiden ratkaisemiseen pienentämällä muuttujien lukumäärä yhteen.[1] Virtafunktion geometrinen tulkinta liittyy virtauksen virtaviivoihin: virtaviivat ovat viivoja, joiden kohdalla virtauksen virtafunktion arvo on vakio.[1]
Sisällys
1Määritelmä
1.1Karteesiset koordinaatit
1.2Napakoordinaatit
1.3Sylinterikoordinaatit
1.4Kokoonpuristuva virtaus
2Virtafunktion ominaisuuksia
2.1Virtaviiva
2.2Tilavuusvuo
3Sovelluksia
3.1Roottori
3.2Navierin−Stokesin yhtälö
3.3Laplacen yhtälö
4Lähteet
Määritelmä
Karteesiset koordinaatit
Tarkastellaan virtauksen nopeusvektorikenttää . Virtausta kuvaava jatkuvuusyhtälö on
Tässä muodossaan jatkuvuusyhtälössä on neljä muuttujaa: , , ja . Tarkoituksena on vähentää muuttujien määrää ensin kahteen. Tätä varten virtauksen pitää täyttää tiettyjä yksinkertaistavia ehtoja. Yleisin ehto on se, että virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta.[1] Jos oletetaan, että nämä ehdot täyttyvät -tasossa, niin pätee
.
Määritellään nyt virtafunktio siten, että sama yhtälö voidaan kirjoittaa
.
Toisin sanoen virtafunktio on määriteltävä siten, että
Mikäli fluidin virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta ja sen nopeus on määritelty napakoordinaatein , on virtafunktio määriteltävä siten, että
Olkoon nyt fluidin virtaus kolmiulotteista ja kokoonpuristumatonta siten, että sen nopeus on vain säteittäistä ja -akselin suuntaista: . Tällöin virtauksen virtafunktio on määriteltävä siten, että
Kaksiulotteisen virtauksen virtaviivoja ovat ne käyrät, jotka ovat kaikkialla virtauksessa sen nopeusvektorin tangentin suuntaisia. Nämä käyrät noudattavat yhtälöä
eli . Sijoittamalla virtafunktio tähän yhtälöön saadaan
.
Toisaalta yhtälön vasen puoli on ketjusäännön nojalla virtafunktion differentiaali:
.
Virtafunktion differentiaalille siis pätee
,
eli virtafunktion arvo on vakio virtaviivalla.[1] Virtafunktion geometrinen tulkinta on siis se, että sen tasa-arvokäyrät ovat virtauksen virtaviivoja.
Tilavuusvuo
Pääartikkeli: Vuo
Virtafunktio on fysikaalinen tulkinta on virtaukseen kuvitellun tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alueen läpi kulkeva tilavuusvuo . Kolmiulotteinen tarkkailupinta on tässä kuvattu ylhäältä päin.
Virtafunktion fysikaalinen tulkinta liittyy virtauksen tilavuusvuohon (jota ei pidä sekoittaa virtaamaan). Kuvitellaan kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen tarkkailupinta, joka on pystysuorassa virtaukseen nähden ja jonka korkeus -akselin suunnassa on 1. Tilavuusvuo tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alan läpi on
Kun sovelletaan Navierin−Stokesin yhtälöä kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen sekä otetaan roottori yhtälön kummaltakin puolelta, saadaan yhtälö, joka kuvaa virtauksen virtafunktiota :
missä on fluidin kinemaattinen viskositeetti. Näin saadaan yhtälö, jossa on vain muuttuja . Toisaalta varjopuolena on se, että näin saatu yhtälö on neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, jonka ratkaiseminen on, mikäli edes mahdollista, ainakin työlästä.
Eräs tärkeä virtafunktion sovellus on kaksiulotteinen, kokoonpuristumaton, kitkaton ja pyörteetön virtaus, jossa siis on edellisten oletusten lisäksi ja . Tätä virtausta kuvaa Laplacen yhtälö
↑ abcdefghijklmnWhite, Frank M.: Fluid Mechanics, s. 259−265. Seventh Edition in SI Units. Singapore: McGraw-Hill, 2011. ISBN 978-007-131121-2. (englanniksi)