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Cet article liste les identités nouvelles, intéressantes et utiles liées aux sommes de diviseurs apparaissant en théorie des nombres, c'est-à-dire les sommes d'une fonction arithmétique indexées par les diviseurs d'un nombre naturel , ou de manière équivalente, la convolution de Dirichlet d'une fonction arithmétique avec la fonction suivante :
Ces identités incluent des applications à des sommes d'une fonction arithmétique indexées seulement sur les diviseurs premiers propres de . Nous définissons également des variantes périodiques de ces sommes de diviseur par rapport au plus grand commun diviseur sous la forme
Des relations d'inversion bien connues qui permettent d'exprimer la fonction en fonction de sont fournis par la formule d'inversion de Möbius. Naturellement, certains des exemples les plus intéressants de telles identités résultent de l'étude de fonctions sommatoires d'ordre moyen d'une fonction arithmétique définie comme étant la somme des diviseurs d'une autre fonction arithmétique . Des exemples particuliers de sommes de diviseurs, impliquant des fonctions arithmétiques spéciales et des convolutions de Dirichlet spéciales de fonctions arithmétiques, peuvent être trouvées sur les pages dédiées à la fonction arithmétique, la convolution de Dirichlet, l'indicatrice d'Euler et la somme de Ramanujan.
Identités liées à des sommes d'ordre moyen
Identités d'échange (d'ordre) de sommation
Les identités suivantes sont la principale motivation pour créer cette page de sujets. Ces identités ne semblent pas bien être connues, ou du moins bien documentées, et sont des outils extrêmement utiles à avoir sous la main dans certaines applications. Dans ce qui suit, on suppose sont des fonctions arithmétiques données et que est la fonction sommatoire de . Un cas spécial plus courant de la première sommation ci-dessous est référencé sur la page "ordre moyen d'une fonction arithémtique"[1].
Ces identités ne sont pas difficiles à prouver et constituent un exercice de manipulation standard d'inversion série-somme de diviseurs. Par conséquent, nous omettons leurs preuves ici.
La méthode de convolution
La méthode de convolution est une technique générale d'estimation des sommes d'ordre moyen de la forme
où la fonction multiplicative f peut être écrite comme un produit de convolution sous la forme pour des fonctions arithmétiquesu et v bien choisies[2].
Ainsi, en combinant les résultats ci-dessus, nous obtenons que
Somme sur les diviseurs premiers
Soit la fonction caractéristique des nombres premiers, c'est-à-dire si et seulement si est premier et vaut zéro sinon. Alors, comme cas particulier de la première identité dans l'équation (1) dans la section à propos de l'échange (d'ordre) de sommation ci-dessus, on peut exprimer les sommes d'ordre moyen
Il existe également une formule intégrale basée sur la formule sommatoire d'Abel pour les sommes de la forme [5]
Si et n a plus de m facteurs premiers distincts (en), alors
Inverse d'une fonction arithmétique pour le produit de Dirichlet
On adopte la notation désignant l'identité multiplicative de la convolution de Dirichlet de sorte que pour toute fonction arithmétiquef et . L'inverse d'une fonction arithmétique f (pour le produit de Dirichlet) satisfait pour tout . Il existe une formule de convolution récursive bien connue pour calculer l'inverse d'une fonction f donnée sous la forme[8]
Pour une fonction fixée f, considérons la fonction
Ensuite, on définit deux produits de convolution multiples (ou imbriquées) suivants pour toute fonction arithmétique fixée f :
La fonction , définie ci-desus, est étroitement liée à l'inverse d'une fonction arbitraire f[9] .
En particulier, on peut prouver que [10]
Un tableau des valeurs de pour apparaît ci-dessous. Ce tableau précise la signification et l'interprétation de cette fonction comme étant la somme signée de toutes les k -convolutions multiples possibles de la fonction f avec elle-même.
n
n
n
2
7
12
3
8
13
4
9
14
5
10
15
6
11
16
Soit où p est la fonction de partition (en). Il existe une autre expression pour l'inverse donnée en fonction des fonctions ci-dessus et des coefficients du q-symbole de Pochhammer pour donné par [9]
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Divisor sum identities » (voir la liste des auteurs).
↑Schramm, « The Fourier transform of functions of the greatest common divisors », Integers, vol. 8,
↑See Section 2.2 in (en) Auteur inconnu, « Mertens' Proof of Mertens' Theorem », .
↑Dans Apostol: Exercice 2.29, Théorème 2.18, et Exercices 2.31-2.32
↑La première identité est une série de Dirichlet bien connue de la forme cataloguée dans Gould et Shonhiwa, « A catalogue of interesting Dirichlet series », Miss. J. Math. Sci., vol. 20, no 1, (lire en ligne [archive du ])
↑Voir la Section 2.7 de l'ouvrage d'Apostol pour une preuve.
↑ a et b(en) Mircea Merca et Maxie D. Schmidt, « Factorization Theorems for Generalized Lambert Series and Applications », .
↑This identity is proved in an unpublished manuscript by M. D. Schmidt which will appear on ArXiv in 2018.
Voir aussi
Bibliographie
T. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer, (ISBN0-387-90163-9, lire en ligne)