Octaèdre régulier
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Un octaèdre régulier est un solide à huit faces polygonales égales. Le préfixe octa, huit, indique le nombre de faces. Le suffixe èdre signifie face plane. Un octaèdre régulier est convexe. Les huit faces polygonales d’un octaèdre régulier sont des triangles équilatéraux, qui sont isométriques. L'octaèdre régulier a douze arêtes égales.
Son symbole de Schläfli est {3, 4}, car il a trois sommets par face, et quatre faces par sommet.
L’octaèdre régulier est le solide de Platon associé à l’air dans l’Antiquité gréco‑romaine.
Grandeurs caractéristiques
![Description de l'image Octahedron.gif.](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Octahedron.gif/220px-Octahedron.gif)
Faces | Arêtes | Sommets |
---|---|---|
8 triangles équilatéraux | 12 | 6 de degré 4 |
Type | Polyèdre régulier |
---|---|
Références d'indexation | U05 – C17 – W002 |
Symbole de Schläfli | {3,4} |
Symbole de Wythoff | 4|2 3 |
Diagramme C-D | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Caractéristique | 2 |
Propriétés | Deltaèdre convexe |
Volume (arête a) | |
Aire de surface | |
Angle dièdre | |
Groupe de symétrie | Oh |
Dual | Cube |
modifier
Si a est la longueur d’une arête :
- la distance entre 2 sommets opposés est
- la distance entre 2 faces opposées (autrement dit, la hauteur de l'octaèdre posé à plat sur une face) est
- le rayon de sa sphère circonscrite est
- son angle dièdre est
- le rayon de sa sphère inscrite est
- son aire est
- son volume est
- les 6 points de coordonnées , et sont les sommets d’un octaèdre régulier centré sur l’origine du repère cartésien.
Propriétés
Les arêtes de l'octaèdre sont les côtés de trois carrés concentriques, dans trois plans deux à deux sécants à angle droit selon une diagonale, à la fois diagonale des deux carrés et diagonale du solide. Le centre commun des carrés est à la fois le centre de symétrie de l’octaèdre, son centre de gravité, et le centre de ses sphères circonscrite et inscrite.
Étoilement et dualité
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/4_concentric_Platonic_solids.svg/330px-4_concentric_Platonic_solids.svg.png)
l’un de l’autre. Trois polyèdres réguliers partagent
les trois sections carrées : les deux tétraèdres,
qui ont chacun quatre sommets du cube,
et l’octaèdre leur intersection.
À partir d’un cube, on peut construire un octaèdre régulier son dual, en plaçant ses sommets aux centres des six faces du cube. Cela revient à tronquer le cube par huit plans, passant chacun par les trois sommets les plus proches du sommet éliminé. Inversement l’étoilement d’un octaèdre régulier : une paire de tétraèdres réguliers symétriques l’un de l’autre par rapport au centre de l’octaèdre, a pour enveloppe convexe un cube.
Exemples
Dans les jeux
L'octaèdre régulier est utilisé comme dé à jouer, particulièrement dans les jeux de rôle.
En cristallographie
Certains cristaux comme la fluorine forment un octaèdre régulier.
En chimie
Certaines molécules peuvent avoir une géométrie moléculaire octaédrique.
Généralisation
L'hyperoctaèdre, ou n-octaèdre, est la généralisation de l'octaèdre en n dimensions.
L'hyperoctaèdre est, avec son dual l'hypercube et le n-simplexe, un des trois seuls polytopes existant sous forme régulière dans toute dimension n. Les polytopes réguliers sont en effet une infinité en dimension 2 (voir polygone régulier), 5 en dimension 3 (voir solide de Platon), 6 en dimension 4, et après ils ne sont plus que 3, comme Ludwig Schläfli l'a démontré.
Le symbole de Schläfli d'un n-octaèdre est de la forme {3, 3, 3, … , 3, 4} avec n – 1 chiffres.
Les coordonnées des sommets d'un hyperoctaèdre centré à l'origine sont obtenues en permutant les coordonnées (±1, 0, 0, … , 0, 0).
Hyperoctaèdre | Carré | Octaèdre | Hexadécachore ou 16-cellules | 5-octaèdre |
---|---|---|---|---|
Dimension | 2 | 3 | 4 | 5 |
Sommets | 4 | 6 | 8 | 10 |
Représentation | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Hypervolume d'un hyperoctaèdre régulier
L'hypervolume d'un polytope est le contenu n-dimensionnel de ce polytope. Soit a son arête.
Pour construire un (n + 1)-octaèdre, on relie les 2n sommets d'un n-octaèdre à un nouveau point au-dessus et à un nouveau point au-dessous.
- Ainsi, un segment dont les extrémités sont reliées à un point au-dessus et à un point au-dessous donne un carré (on supposera que les points ont été placés de sorte à donner un hyperoctaèdre régulier).
- Un carré dont les sommets sont reliés à un point au-dessus et à un point au-dessous donne un octaèdre.
- Un octaèdre dont les sommets sont reliés à un point au-dessus et à un point en dessous (situés dans une autre dimension) donne bien un hexadécachore.
L'hyperoctaèdre est donc une double hyperpyramide (à base hyperoctaédrique de dimension inférieure). Étant régulier dans le cas étudié, ses sommets sont tous sur une n-sphère circonscrite. Cette n-sphère circonscrite est également celle de ses faces hyperoctaédriques de dimensions inférieures, car tous les sommets de l'hyperoctaèdre régulier sont dessus. Le rayon du centre de cette n-sphère aux sommets est donc le même pour toute dimension n : .
L'hypervolume est celui de deux hyper-pyramides de hauteur . On en déduit donc que l'hypervolume (le n-contenu) d'un n-octaèdre régulier d'arête a vaut :
.
Exemples :
- Aire du carré :
- Volume de l'octaèdre régulier : ;
- Hypervolume de l'hexadécachore : ;
- …
(On suppose dans cette formule que le seul n-octaèdre à ne pas avoir une longueur d'arête égale à a est le segment (1-octaèdre), qui a dans ce cas pour longueur (diagonale d'un carré) pour donner bien un carré de côté a avec la méthode de construction donnée)
Notes et références
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