Biforcazione di Hopf
In matematica, in particolare nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria delle biforcazioni, si parla di biforcazione di Hopf quando, al variare di un certo parametro di controllo , un punto di equilibrio modifica la sua stabilità in corrispondenza della formazione di un ciclo limite (attrattivo o repulsivo).
Definizione
La caratterizzazione formale di questi punti è destinata al teorema di Hopf sulle biforcazioni:
Sia
un sistema di dimensione e sia un punto tale che
- Lo jacobiano di ha una coppia di autovalori immaginari puri e nessun altro autovalore con parte reale nulla.
- Vale la condizione di attraversamento
Allora in nasce una soluzione periodica (ciclo limite) con ampiezza iniziale nulla e periodo . Il punto viene detto di biforcazione di Hopf.
La terza condizione chiede che gli autovalori attraversino l'asse immaginario. Si chiede quindi che la derivata della parte reale degli autovalori rispetto al parametro non sia nulla, il che significherebbe che la parte reale rimarrebbe nulla anche per .
Una biforcazione di Hopf può essere supercritica oppure subcritica. Nel primo caso, esiste un attrattore stabile, nel secondo invece, i cicli si formano per e sono -limite (quindi non attrattivi) e l'equilibrio è instabile per .
Voci correlate
- Teoria delle biforcazioni
Altri progetti
Altri progetti
- Wikimedia Commons
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su biforcazione di Hopf
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Biforcazione di Hopf, su MathWorld, Wolfram Research.
V · D · M | ||
---|---|---|
Teoria delle biforcazioni | Biforcazione a forcone · Biforcazione a nodo sella · Biforcazione imperfetta · Biforcazione transcritica · Biforcazione di Hopf · Larva del pino (sistema dinamico) | |
Frattali | Arte frattale · Buddhabrot · Burning ship · Compressione frattale · Curva di Koch · Curva di Peano · Curva di Sierpiński · Dimensione di Hausdorff · Dimensione frattale · Funzione di Cantor · Insieme di Cantor · Insieme di Julia · Insieme di Mandelbrot · Frattali per dimensione di Hausdorff · Polvere di Cantor · Sterling · Triangolo di Sierpiński · Dimensione di Minkowski-Bouligand | |
Attrattori | Attrattore di Lorenz · Attrattore di Hénon · Mappa di Poincaré · Mappa logistica · Mappa a ferro di cavallo · Spazio delle fasi | |
Teorici del caos | Edward Norton Lorenz · Aleksandr Michajlovič Ljapunov · Benoît Mandelbrot · Edward Ott · Henri Poincaré · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke |