Numero di Prandtl
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Il numero di Prandtl (abbreviato con ) è un numero adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica per un fluido viscoso.[1]
Il suo analogo per lo scambio di materia è il numero di Schmidt.
Definizione matematica
È definito come:[2]
dove (relativamente al fluido in esame):
- è la diffusività cinematica, misurata nel Sistema Internazionale (SI) in ;
- è la diffusività termica, misurata nel SI in ;
- è la viscosità dinamica, misurata nel SI in ;
- è la capacità termica specifica a pressione costante, misurato nel SI in: ;
- è la conduttività termica, misurata nel SI in .
Formulazione della definizione matematica
L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:
- ,
in cui (relativamente al corpo in esame):
- è la derivata materiale dell'entalpia specifica (), misurata in ;
- è la densità di corrente termica, misurata in ;
- è l'energia persa per dissipazione viscosa per unità di volume, misurata in ;
- è il tensore dello sforzo di taglio, misurato in ;
- è il gradiente della velocità del fluido, misurato in ;
- è la derivata materiale della pressione, misurata in .
Le unità di misura sono tutte intese nel Sistema Internazionale.
Questa equazione nel caso di fluido viscoso che segue la legge di Newton-Stokes e la legge di Fourier si riduce a:
- ,
in cui (relativamente al corpo in esame):
- è la densità, ;
- è la capacità termica specifica a pressione costante, ;
- è la conduttività termica
- è la viscosità dinamica
- è la temperatura .
Nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:
ovvero:
,
in cui (relativamente al fluido in esame):
- è la diffusività termica;
- è la diffusività cinematica.
Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando questa equazione. Si pone e risulta che:
,
perciò:
- ,
ora è l'adimensionale cercato:
quindi l'equazione di bilancio dell'energia diventa:
Interpretazione fisica
Valori tipici del numero di Prandtl sono:
- circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;[3]
- tra 100 e 40000 nel caso degli oli motore;
- circa 0,015 per il mercurio.
- circa 7 per l'acqua (a 20 °C).
Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, ha viscosità e conducibilità termica nulle[senza fonte], per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.
Applicazioni
![Sezione vuota](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Quill-Nuvola.svg/20px-Quill-Nuvola.svg.png)
Note
- ^ (EN) Warren E. Stewart e Edwin N. Lightfoot, Transport phenomena, 2nd, Wiley international ed, J. Wiley, 2007, p. 268, ISBN 0-471-41077-2, OCLC 46456316. URL consultato il 4 settembre 2022.
- ^ (EN) scienceworld.wolfram.com, Prandtl Number
- ^ (EN) Charles F. Curtiss, R. Byron Bird e University of Wisconsin. Naval Research Laboratory, Molecular theory of gases and liquids, Wiley, 1964, ISBN 0-471-40065-3, OCLC 534717. URL consultato il 4 settembre 2022.
Bibliografia
- (EN) R. Byron Bird, Warren E. Stewart e Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena, 2ª ed., Wiley, 2007, ISBN 978-0-470-11539-8.
- (EN) C.F. Curtiss e R. Byron Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, New York, Wiley, 1964, ISBN 978-0-471-40065-3.
Voci correlate
V · D · M | |
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Abbe · Archimede · Bagnold · Bingham · Biot · Bond · Boussinesq · Brinkman · Capillarità · Colburn · Damköhler · Deborah · Eckert · Eötvös · Ekman · Eulero · Fanning · Fourier · Fresnel · Froude · Galilei · Graetz · Grashof · Hagen · Knudsen · Laplace · Lewis · Mach · Marangoni · Nusselt · Ohnesorge · Péclet · Prandtl · Rayleigh · Reech · Reynolds · Reynolds magnetico · Richardson · Rossby · Rouse · Ruark · Schmidt · Sherwood · Soret · Stanton · Stokes · Strouhal · Weber · Weissenberg · Womersley |
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