Numero stella octangulare
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/StellaOctangulaNumber.jpg/220px-StellaOctangulaNumber.jpg)
In teoria dei numeri, un numero stella octangulare è un numero figurato che rappresenta una stella octangula.
La formula per l'-simo numero stella octangulare è:
- [1]
I primi numeri stella octangulari sono: 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444[2].
Proprietà matematiche
L'-esimo numero stella octangulare può essere espresso come la somma dell'-esimo numero ottaedrico e di 8 volte l'-esimo numero tetraedrico.
Gli unici numeri stella octangulari ad essere anche quadrati perfetti sono 1 e 9653449 (3107²), rispettivamente il 1º e il 169º dei numeri di questa forma[3]. Ciò è stato dimostrato considerando che la curva ellittica che descrive i numeri allo stesso tempo stella octangulari e quadrati,
può essere posta nell'equivalente forma di Weierstrass
sostituendo con e con . Dato che e , i due fattori di , sono primi tra loro, devono essere anch'essi quadrati.
Ora, ponendo e , si ha
- [3]
Un teorema di Siegel afferma che ogni equazione ellittica ha solo un numero finito di soluzioni intere, e nel 1942 il matematico Wilhelm Ljunggren ha pubblicato una complessa dimostrazione del fatto che le due soluzioni note siano le uniche. Per questo, l'ultima equivalenza è anche nota come equazione di Ljunggren[4] Louis J. Mordell congetturò che tale dimostrazione potesse essere semplificata, come in effetti è poi avvenuto per merito di più matematici.[3][5][6].
Note
- ^ John Conway, Richard K. Guy, The Book of Numbers, Springer, 1996, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9..
- ^ (EN) Sequenza A007588, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
- ^ a b c Samir Siksek, Descents on Curves of Genus I (PDF) [collegamento interrotto], in Tesi di PhD, Università di Exeter, 1995, pp. 16–17.
- ^ Wilhelm Ljunggren, Zur Theorie der Gleichung x2 + 1 = Dy4, in Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I., vol. 1942, n. 5, 1942, p. 27..
- ^ Ray Steiner, Nikos Tzanakis, Simplifying the solution of Ljunggren's equation X2 + 1 = 2Y4 (PDF), in Journal of Number Theory, vol. 37, n. 2, 1991, pp. 123–132. URL consultato il 24 agosto 2012 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2016).
- ^ Konstantinos A. Draziotis, The Ljunggren equation revisited, in Colloquium Mathematicum, vol. 109, n. 1, 2007, pp. 9–11.
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Numero stella octangulare, su MathWorld, Wolfram Research.
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