Liczba przeciwna
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Rettay%3D-x.png/220px-Rettay%3D-x.png)
Liczba przeciwna do danej liczby – taka liczba że zachodzi[1]:
gdzie jest elementem zerowym działania dodawania.
Przykład:
- liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba −3.
W szczególności:
- liczbą przeciwną do zera jest zero,
- liczbą przeciwną do przeciwnej do jest liczba
W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.
W zbiorach liczb naturalnych, oraz w klasach liczb kardynalnych i porządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w liczbach nadrzeczywistych.
Uogólnienie na grupy uporządkowane
Z punktu widzenia algebry jest to pojęcie elementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.
Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy spełniający[2][3]
to
- elementy dla których nazywamy niedodatnimi,
- elementy dla których nazywamy nieujemnymi,
- elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi,
- elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi,
Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).
Wówczas, jak łatwo sprawdzić:
- element przeciwny do dodatniego jest ujemny,
- element przeciwny do ujemnego jest dodatni.
Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem modulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.
Zobacz też
- arytmetyka
Przypisy
- ↑ liczby przeciwne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-27] .
- ↑ PlanetMath: ordered group. planetmath.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-06-01)]..
- ↑ Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres [online], books.google.com [dostęp 2017-11-24] .
- p
- d
- e
podstawowe typy liczb | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
działania |
| ||||||||
ułamki | |||||||||
symbole |
| ||||||||
reguły zapisu | |||||||||
prawa działań | |||||||||
narzędzia |
| ||||||||
powiązane pojęcia | |||||||||
rozszerzenia |
- p
- d
- e
- Catalana: 0268102