Axioma da extensão
O axioma da extensão, também chamado axioma da extensionalidade ou ainda axioma da unicidade, cumpre, na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o papel de estabelecer como as relações de pertinência () e igualdade de conjuntos () estão relacionadas. O seu enunciado diz:
- Se dois conjuntos e são tais que todo elemento de é elemento de e todo elemento de é elemento de , então e são iguais.
Na linguagem da lógica formal podemos enunciá-lo da seguinte forma:
O conteúdo deste axioma é claro: um conjunto é completamente determinado pelos elementos que contêm. Alguns matemáticos dizem isso afirmando que um conjunto é determinado pela sua extensão o que é, talvez, não muito claro. O outro nome pelo qual o axioma é conhecido, axioma da unicidade, é mais sugestivo: não há dois conjuntos com exatamente os mesmos elementos.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/%C3%81rvore_geneal%C3%B3gica_dos_Simpsons.jpg/400px-%C3%81rvore_geneal%C3%B3gica_dos_Simpsons.jpg)
Pode parecer uma trivialidade formal exigir que se dois conjuntos têm os mesmos elementos então são iguais, mas não é tanto como parece. Halmos diz, em Teoria ingênua dos conjuntos[1], que é valioso compreender o axioma da extensão não apenas como uma propriedade lógica necessária de igualdade, mas também como uma proposição não-trivial sobre pertinência. Para esclarecer, sugere compararmos pertinência-igualdade de conjuntos com ancestralidade-igualdade de humanos, considerando seres humanos no lugar de conjuntos e colocando sempre que for ancestral de . É claro que neste caso o análogo do axioma da extensão não vale. Realmente, se Bart e Lisa são irmãos, têm então os mesmos ancestrais, contudo não são seres humanos iguais.
Em termos da inclusão de conjuntos () podemos ainda expressar o axioma da extensão como[2]
Em palavras,
- A inclusão de conjuntos é anti-simétrica.
A recíproca do axioma da extensão,
é evidentemente verdadeira[3] e alguns autores referem-se a proposição completa
como sendo o axioma da extensão. Historicamente isto não é correto mas, por outro lado, não há qualquer problema lógico em enunciar o axioma nesta forma; exceto que a implicação recíproca acrescentada não é, de fato, um axioma[4].
Ver também
- Extensionalidade
Notas
Referências
- Halmos, Paul R (2001). Teoria ingênua dos conjuntos. Tradução de Lázaro Coutinho. Rio de Janeiro: Ciência Moderna. 178 páginas. ISBN 85-7393-141-8
Ligações externas
- Axiom ax-ext 2164 em Metamath Proof Explorer (em inglês)
- Axiom of extensionality em Encyclopedia of Mathematics (em inglês)
- Axiom of Extensionality em MathWorld (em inglês)
- Axiom of Extension em ProofWiki (em inglês)
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