Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.
Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.[1] A razão é indicada geralmente pela letra (inicial da palavra "quociente").
Alguns exemplos de progressão geométrica:
em que e [1]
em que e
em que e
em que e
em que e
Termo geral
Costuma-se denotar por o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial e sua razão q.
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando Sua soma é:
Se e então sua soma é mais infinito e se e sua soma é menos infinito.
Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso por exemplo. pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.
Produto dos termos de uma progressão geométrica
O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão: sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.
Tipos de progressões geométricas
Progressão geométrica constante
Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão deve ser igual a 1.
Exemplos de progressões geométricas constantes :
tem razão e primeiro termo
tem razão e primeiro termo
Progressão geométrica crescente
Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão é superior a 1 e seu primeiro termo é superior a 0 ou quando sua razão está entre 0 e 1 e seu primeiro termo é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: e ou e
Exemplos de progressões geométricas crescentes:
tem razão e primeiro termo
tem razão e primeiro termo
Progressão geométrica decrescente
Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão é superior a 1 e seu primeiro termo é inferior a 0 ou quando sua razão está entre 0 e 1 e seu primeiro termo é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: e ou e
Exemplos de progressões geométricas decrescentes:
tem razão e primeiro termo
tem razão e primeiro termo
Progressão geométrica oscilante
Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem:
Exemplos de progressões geométricas oscilantes:
tem razão e primeiro termo
tem razão e primeiro termo
Exemplo de progressão geométrica
Abaixo temos uma tabela na qual o termo e o termo e assim sucessivamente em progressão geométrica.
onde
1
2
2
6
3
18
4
54
5
162
6
486
7
1.458
8
4.374
9
13.122
10
39.366
11
118.098
12
354.294
13
1.062.882
14
3.188.646
15
9.565.938
16
28.697.814
17
86.093.442
18
258.280.326
19
774.840.978
20
2.324.522.934
Qual é o 8º termo da PG acima?
Enésimo termo de uma PG
É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:
Inicialmente é necessário obter-se o quociente().
Após obtido o quociente() o enésimo() termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo ou seja,
Exemplo ilustrativo
Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo() igual a 1.250 e o 8º termo() igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo()?
Agora usando o quociente () na fórmula do enésimo termo ().
O 2º termo da PG dada é igual a 10.
Ver também
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