Duoprismă
P-q duoprisme uniforme | |
Tip | 4-politopuri uniforme prismatice |
---|---|
Simbol Schläfli | {p}×{q} |
Diagramă Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Celule | prisme p q-gonale, prisme q p-gonale |
Fețe | pq pătrate, p q-goane, q p-goane |
Laturi | 2pq |
Vârfuri | pq |
Figura vârfului | ![]() bisfenoid |
Grup de simetrie | [p,2,q], de ordinul 4pq |
Dual | p-q duopiramidă |
Proprietăți | convex, uniform pe vârfuri |
P-p duoprisme uniforme | |
Tip | 4-politopuri uniforme prismatice |
---|---|
Simbol Schläfli | {p}×{p} |
Diagramă Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Celule | prisme 2p p-gonale |
Fețe | p2 pătrate, 2p p-goane |
Laturi | 2p2 |
Vârfuri | p2 |
Grup de simetrie | [p,2,p] = [2p,2+,2p] de ordinul 8p2 |
Dual | p-p duopiramidă |
Proprietăți | convex, uniform pe vârfuri, tranzitiv pe fețe |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/23%2C29-duoprism_stereographic_closeup.jpg/290px-23%2C29-duoprism_stereographic_closeup.jpg)
În geometria cvadridimensională sau din dimensiuni superioare o duoprismă este un politop rezultat din produsul cartezian a două politopuri, fiecare cu două dimensiuni sau mai mult. Produsul cartezian al unui politop n-dimensional și al unui politop m-dimensional este un politop (n+m)-dimensional, unde n și m sunt 2-politopuri (poligoane) sau din dimensiuni mai mari.
Cele mai jos dimensionale duoprisme există în spațiul cvadridimensional ca 4-politopuri fiind produsul cartezian a două poligoane din spațiul euclidian bidimensional. Mai precis, este mulțimea de puncte:
unde P1 și P2 sunt mulțimile punctelor din poligoanele respective. O astfel de duoprismă este convexă dacă ambele baze sunt convexe și este mărginită de celule prismatice.
Denumiri
Duoprismele cvadridimensionale sunt considerate a fi 4-politopuri prismatice. o duoprismă construită din două poligoane regulate cu aceeași lungime a laturilor este o duoprismă uniformă.
O duoprismă formată din n-goane și m-goane este denumită „duoprismă” urmată de numele poligoanelor de bază, de exemplu: o „duoprismă triunghiulară-pentagonală” este produsul cartezian al unui triunghi și al unui pentagon. O alternativă este notația cu un prefix cu numerele laturilor poligoanelor de bază, de exemplu „3-5 duoprismă” sau „3,5 duoprismă” pentru duoprisma triunghiulară-pentagonală.
Nume alternative:
- prismă q-gonală-p-gonală
- prismă dublă q-gonală-p-gonală
- hiperprismă q-gonală-p-gonală
Termenul de duoprismă a fost introdus de George Olshevsky, ca prescurtare la „prismă dublă”. John Horton Conway a propus un nume similar, proprismă, pentru „prismă de produs”, un produs cartezian a două sau mai multe politopuri cel puțin bidimensionale. Duoprismele sunt proprisme formate din exact două politopuri.
Exemplu de 16-16 duoprismă
![]() | ![]() | |
Diagramă Schlegel a unei 16-16 duoprisme, prezentând toate prismele 16-gonale, mai puțin una | Desfășurata. Sunt prezentate cele două seturi de prisme 16-gonale. Fețele de sus și de jos ale cilindrului vertical sunt conectate atunci când sunt pliate împreună în spațiul cvadridimensional. |
Geometria duoprismelor cvadridimensionale
O duoprismă uniformă cvadridimensională este creată de produsul unui poligon regulat cu n laturi cu un alt poligon, cu m laturi de aceeași lungime. Este mărginită de n prisme m-gonale și m prisme n-gonale. De exemplu, produsul cartezian al unui triunghi și al unui hexagon este o duoprismă delimitat de 6 prisme triunghiulare și 3 prisme hexagonale.
- Când m și n sunt identice, duoprisma rezultată este mărginită de 2n prisme identice n-gonale. De exemplu, produsul cartezian a două triunghiuri este o duoprismă delimitată de 6 prisme triunghiulare.
- Când m și n sunt identice și au valoarea 4, duoprisma rezultată este mărginită de 8 prisme pătrate (cuburi) și este identică cu tesseractul.
Prismele m-gonale sunt atașate între ele prin fețele lor m-gonale și formează o buclă închisă. Similar, prismele n-gonale sunt atașate între ele prin fețele lor n-gonale și formează o a doua buclă, perpendiculară pe prima. Aceste două bucle sunt atașate una de cealaltă prin fețele lor și sunt reciproc perpendiculare.
Pe măsură ce m și n se apropie de infinit, duoprismele corespunzătoare se apropie de un duocilindru. Ca atare, duoprismele sunt utile ca aproximări necuadrice ale duocilindrului.
Desfășurate
![]() 3-3 | ![]() 4-4 | ![]() 5-5 | ![]() 6-6 | ![]() 8-8 | ![]() 10-10 |
![]() 3-4 | ![]() 3-5 | ![]() 3-6 | ![]() 4-5 | ![]() 4-6 | ![]() 3-8 |
Proiecții în perspectivă
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Hexagonal_prism_skeleton_perspective.png/155px-Hexagonal_prism_skeleton_perspective.png)
O proiecție în perspectivă cu o celulă în față face ca o duoprismă să arate ca un tor, cu două seturi de celule ortogonale, prisme p-gonale și q-gonale.
Duoprismele p-q sunt identice cu duoprismele q-p, dar arată diferit în aceste proiecții, deoarece proiecțiile sunt centrate pe celule de tip diferit.
![]() 3-3 | ![]() 3-4 | ![]() 3-5 | ![]() 3-6 | ![]() 3-7 | ![]() 3-8 |
![]() 4-3 | ![]() 4-4 | ![]() 4-5 | ![]() 4-6 | ![]() 4-7 | ![]() 4-8 |
![]() 5-3 | ![]() 5-4 | ![]() 5-5 | ![]() 5-6 | ![]() 5-7 | ![]() 5-8 |
![]() 6-3 | ![]() 6-4 | ![]() 6-5 | ![]() 6-6 | ![]() 6-7 | ![]() 6-8 |
![]() 7-3 | ![]() 7-4 | ![]() 7-5 | ![]() 7-6 | ![]() 7-7 | ![]() 7-8 |
![]() 8-3 | ![]() 8-4 | ![]() 8-5 | ![]() 8-6 | ![]() 8-7 | ![]() 8-8 |
Proiecții ortogonale
Proiecțiile ortogonale centrate pe vârfuri ale duoprismelor p-p se proiectează în [2n] simetrie pentru grade impare și [n] pentru grade pare. Există n vârfuri proiectate în centru. Pentru 4,4, reprezintă planul A3 Coxeter al tesseractului. Proiecția 5-5 este identică cu a triacontaedrului rombic.
Impare | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
3-3 | 5-5 | 7-7 | 9-9 | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
[3] | [6] | [5] | [10] | [7] | [14] | [9] | [18] |
Pare | |||||||
4-4 (tesseract) | 6-6 | 8-8 | 10-10 | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
[4] | [8] | [6] | [12] | [8] | [16] | [10] | [20] |
Bibliografie
- en H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Dover Publications, Inc., 1973, New York, p. 124.
- en Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN: 0-486-40919-8 (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues)
- en Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
- en Henry P. Manning, Munn & Company, The Fourth Dimension Simply Explained, 1910, New York. Available from the University of Virginia library. Also accessible online: The Fourth Dimension Simply Explained—contains a description of duoprisms (double prisms) and duocylinders (double cylinders). Googlebook
- en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26)
- en Norman Johnson, The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
![]() | Portal matematică |