Inom matematiken är Struves funktioner
en speciell funktion som definieras som lösningen y(x) av den icke-homogena Bessels differentialekvationen
![{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y={\frac {4{(x/2)}^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207829479e0a5cbeb55b545cfa658fccf7cb7b1b)
Funktionerna introducerades av Hermann Struve 1882. Det komplexa talet α är ordningen av Struves funktion och är ofta ett heltal. De modifierade Struvefunktionerna
definieras som
.
Definitioner
Struvefunktionerna
kan definieras som den oändliga serien
![{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m+{\frac {3}{2}})\Gamma (m+\alpha +{\frac {3}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha +1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9789d3cf49b21989ce908448197902da0fad161)
där
är gammafunktionen.
De modifierade Struvefunktionerna
kan definieras som serien
![{\displaystyle \mathbf {L} _{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma ({\frac {3}{2}}+k)\Gamma ({\frac {3}{2}}+k+\nu )}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f19a8f84ba2fc28898f5f1fafd1e1318b85b64)
En alternativ definition för värden på α som satisfierar
är
![{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\pi /2}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }(\tau )d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d34158c82c0119349621f58f44bdced57bda9c6)
För stora x gäller
![{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{\alpha -1}+O\left({(x/2)}^{\alpha -3}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af7f4d504fab019b1176cd77374db583aebd9da)
där
är Neumanns funktion.
Egenskaper
Struvefunktionerna satisfierar följande relationer:
![{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb969b05a73afe5835e9eb794041242313b36401)
![{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)=2{\frac {\mathrm {d} \mathbf {H} _{\alpha }}{\mathrm {d} x}}-{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4840f7a30cc6a67012ec42d3c6247b3606440d29)
Relation till andra funktioner
Struvefunktioner av heltalsordning kan uttryckas med hjälp av Webers funktion En och vice versa: om n är ett icke-negativt heltal är
![{\displaystyle \mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma (n-1/2-k)}}\mathbf {H} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8961b7a2742207fc052ad365047604f6f8aad312)
![{\displaystyle \mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+3/2)}}\mathbf {H} _{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d579072e41fc2192afef7163a14dc50e5c7c38)
Struvefunktioner av ordning n+1/2 (där n är ett heltal) kan skrivas med hjälp av elementära funktioner. Om n är ett icke-negativt heltal är
![{\displaystyle \mathbf {H} _{-n-1/2}(z)=(-1)^{n}J_{n+1/2}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3ce9cac3bc7235cbee71d2253b868fc061a4bc)
där högra sidan är en sfärisk Besselfunktion.
Struvefunktioner av alla ordningar är specialfall av generaliserade hypergeometriska serier 1F2 (som inte är Gauss hypergeometriska funktion 2F1) :
![{\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha +1/2}}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\alpha +3/2)}}{}_{1}F_{2}(1,3/2,\alpha +3/2,-z^{2}/4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c486519568f30626abef4035e783b1e5e40d7ea)
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Struve function, 2 november 2013.
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Struves funktion.Bilder & media
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | Gammafunktionen · Betafunktionen · Digammafunktionen · Trigammafunktionen · Polygammafunktionen · Ofullständiga gammafunktionen · Barnes G-funktion | | Zeta- och L-funktioner | Riemanns zetafunktion · Dirichlets L-funktion · Dedekinds zetafunktion · Artins L-funktion · Hasse–Weils L-funktion · Motiviska L-funktionen | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|