Distribució beta variada matricial

Distribució beta variada matricial

Tipus	Distribució de Dirichlet variada matricial
Notació	${\displaystyle {\rm {B}}_{p}(a,b)}$
Paràmetres	${\displaystyle a,b}$
Suport	${\displaystyle p\times p}$ matrius amb totes dues ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle I_{p}-U}$ definida positiva
fdp	${\displaystyle \left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.}$
FD	${\displaystyle {}_{1}F_{1}\left(a;a+b;iZ\right)}$

En estadística, la distribució beta variada matricial és una generalització de la distribució beta. Si ${\displaystyle U}$ és un ${\displaystyle p\times p}$ matriu definida positiva amb una distribució beta variada matricial, i ${\displaystyle a,b>(p-1)/2}$ són paràmetres reals, escrivim ${\displaystyle U\sim B_{p}\left(a,b\right)}$ (de vegades ${\displaystyle B_{p}^{I}\left(a,b\right)}$). La funció de densitat de probabilitat per a ${\displaystyle U}$ és:^[1]

${\displaystyle \left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.}$

Aquí ${\displaystyle \beta _{p}\left(a,b\right)}$ és la funció beta multivariada:^[2]

${\displaystyle \beta _{p}\left(a,b\right)={\frac {\Gamma _{p}\left(a\right)\Gamma _{p}\left(b\right)}{\Gamma _{p}\left(a+b\right)}}}$

on ${\displaystyle \Gamma _{p}\left(a\right)}$ és la funció gamma multivariada donada per

${\displaystyle \Gamma _{p}\left(a\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{i=1}^{p}\Gamma \left(a-(i-1)/2\right).}$

Si ${\displaystyle U\sim B_{p}(a,b)}$ llavors la densitat de ${\displaystyle X=U^{-1}}$ està donada per^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{\beta _{p}\left(a,b\right)}}\det(X)^{-(a+b)}\det \left(X-I_{p}\right)^{b-(p+1)/2}}$

sempre que ${\displaystyle X>I_{p}}$ i ${\displaystyle a,b>(p-1)/2}$.^[4]