Distribució logística generalitzada

El terme distribució logística generalitzada s'utilitza com a nom de diverses famílies de distribucions de probabilitat. Per exemple, Johnson et al.[1] enumeren quatre formes, que s'enumeren a continuació. Una família descrita aquí també s'ha anomenat distribució logística obliqua. Per a altres famílies de distribucions que també s'han anomenat «distribucions logístiques generalitzades» (vegeu la «distribució log-logística desplaçada», que és una generalització de la distribució log-logística).

Definicions

Les definicions següents són per a versions estandarditzades de les famílies, que es poden ampliar a la forma completa com una família a escala-localització. Cadascun d'ells està definit mitjançant la funció de distribució acumulada (F) o la funció de densitat de probabilitat (ƒ), i està definit a (-∞,∞).

Tipus I

F ( x ; α ) = 1 ( 1 + e x ) α ( 1 + e x ) α , α > 0. {\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\alpha }}}\equiv (1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0.}

La funció de densitat de probabilitat corresponent és:

f ( x ; α ) = α e x ( 1 + e x ) α + 1 , α > 0. {\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}

Aquest tipus també ha estat anomenat distribució «desviació-logística».

Tipus II

F ( x ; α ) = 1 e α x ( 1 + e x ) α , α > 0. {\displaystyle F(x;\alpha )=1-{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha }}},\quad \alpha >0.}

La funció de densitat de probabilitat corresponent és:

f ( x ; α ) = α e α x ( 1 + e x ) α + 1 , α > 0. {\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}

Tipus III

f ( x ; α ) = 1 B ( α , α ) e α x ( 1 + e x ) 2 α , α > 0. {\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {1}{B(\alpha ,\alpha )}}{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{2\alpha }}},\quad \alpha >0.}

On B és la funció beta. La funció generadora de moments per a aquest tipus és

M ( t ) = Γ ( α t ) Γ ( α + t ) ( Γ ( α ) ) 2 , α < t < α . {\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\alpha -t)\Gamma (\alpha +t)}{(\Gamma (\alpha ))^{2}}},\quad -\alpha <t<\alpha .}

La funció de distribució acumulada corresponent és:

F ( x ; α ) = ( e x + 1 ) Γ ( α ) e α ( x ) ( e x + 1 ) 2 α 2 F ~ 1 ( 1 , 1 α ; α + 1 ; e x ) B ( α , α ) , α > 0. {\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\alpha (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-2\alpha }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\alpha ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\alpha )}},\quad \alpha >0.}

Tipus IV

f ( x ; α , β ) = 1 B ( α , β ) e β x ( 1 + e x ) α + β , α , β > 0. {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}},\quad \alpha ,\beta >0.}

De nou, B és la funció beta. La funció generadora de moments per a aquest tipus és

M ( t ) = Γ ( β t ) Γ ( α + t ) Γ ( α ) Γ ( β ) , α < t < β . {\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\beta -t)\Gamma (\alpha +t)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\quad -\alpha <t<\beta .}

Aquest tipus també es coneix com la «funció beta exponencial generalitzada del segon tipus».[1]

La funció de distribució acumulada corresponent és:

F ( x ; α , β ) = ( e x + 1 ) Γ ( α ) e β ( x ) ( e x + 1 ) α β 2 F ~ 1 ( 1 , 1 β ; α + 1 ; e x ) B ( α , β ) , α , β > 0. {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\beta (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-\alpha -\beta }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\beta ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\beta )}},\quad \alpha ,\beta >0.}

Referències

  1. 1,0 1,1 Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions, Volume 2, Wiley. ISBN 0-471-58494-0 (pages 140–142)

Vegeu també

  • Vegeu aquesta plantilla
Distribucions discretes
amb suport finit
Distribucions discretes
amb suport infinit
Distribucions contínues
suportades sobre un interval acotat
Distribucions contínues
suportades sobre un interval semi-infinit
Distribucions contínues
suportades en tota la recta real
Distribucions contínues
amb el suport de varis tipus
Barreja de distribució variable-contínua
Distribució conjunta
Discreta
Ewens
Multinomial
Multinomial de Dirichlet
Multinomial negativa
Contínua
Dirichlet
Dirichlet generalitzada
Estable multivariant
Gamma normal
Gamma normal inversa
Normal multivariable
t multivariable
Matriu de valor
Matriu gamma
Matriu gamma inversa
Matriu normal
Normal de Wishart
Normal de Wishart inversa
t matriu
Wishart
Wishart inversa
Direccionals
Univariada (circular)
Asimètrica de Laplace envoltada
Cauchy envoltada
Exponencial envoltada
Lévy envoltada
Normal envoltada
Circular uniforme
Univariada de von Mises
Bivariada (esfèrica)
Kent
Bivariada (toroidal)
Bivariada de von Mises
Multivariada
von Mises-Fisher
Bingham
Degenerada i singular
Degenerada
Delta de Dirac
Singular
Cantor
Famílies