Distribució t no central

Distribució t no central

Funció de densitat de probabilitat
Tipus	distribució univariant
Paràmetres	ν > 0 graus de llibertat ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ paràmetre de no centralitat
Suport	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,\!}$
fdp	vegeu text
FD	vegeu text
Esperança matemàtica	${\displaystyle \mu \,{\sqrt {\dfrac {\nu }{2}}}\,{\dfrac {\Gamma {\Big (}{\frac {\nu -1}{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}},}$ si ${\displaystyle \nu >1.}$
Variància	${\displaystyle {\dfrac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\dfrac {\mu ^{2}\nu }{2}}{\Bigg (}{\dfrac {\Gamma {\Big (}{\frac {\nu -1}{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\Bigg )}^{2}}$, si ${\displaystyle \nu >2.}$

En Teoria de la probabilitat i Estadística, la distribució t no central generalitza la distribució t de Student mitjançant un paràmetre de no centralitat. Mentre que en un contrast d'hipòtesis d'igualtat de mitjanes en una població normal, la distribució t de Student descriu com es distribueix l'estadístic de contrast quan la hipòtesi nul.la es certa (igualtat de mitjanes), la distribució t no central ho fa quan la hipòtesi nul.la és falsa; llavors, és especialment important en el càlcul de la potència estadística d'un contrast.

També s'utilitza en la modelització robusta de dades.^[1][2]

Sigui ${\displaystyle Z}$ una variable aleatòria normal estàndard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ i ${\displaystyle V\sim \chi _{\nu }^{2}}$ una variable aleatòria amb distribució khi quadrat amb ${\displaystyle \nu >0}$ graus de llibertat que és independent de ${\displaystyle Z}$. Es diu ^[3] que la variable aleatòria

$${\displaystyle T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}}$$

té una distribució t no central amb ${\displaystyle \nu >0}$ graus de llibertat i paràmetre de no centralitat ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ ; s'escriu ${\displaystyle T\sim t_{\nu }(\mu )}$. Quan ${\displaystyle \mu =0}$ es té una distribució ${\displaystyle t}$ de Student ordinària ${\displaystyle t_{\nu }}$. Tingueu en compte que el paràmetre de no centralitat pot ser negatiu.

Comentari sobre els graus de llibertat no enters. El cas habitual d'aquesta distribució és quan el nombre de graus de llibertat ${\displaystyle \nu }$ és un nombre natural, però tant des del punt de vista de les aplicacions com de la teoria, és convenient disposar d'aquesta distribució que pugui tenir qualsevol nombre estrictament positiu de graus de llibertat, ${\displaystyle \nu >0}$. Això pot fer-ser gràcies a que una distribució khi quadrat està ben definida en aquesta situació.

La funció de densitat de la distribució t no central no té una expressió senzilla i en veurem diverses formulacions que surten a la literatura. Sigui ${\displaystyle T\sim t_{\nu }(\mu )}$.

Expressió integral ^[4] $${\displaystyle f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}\,e^{-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2(\nu +t^{2})}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})\,(\nu +t^{2})^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }z^{\nu }e^{-{\frac {1}{2}}{\Big (}z-{\frac {t\mu }{\sqrt {\nu +t^{2}}}}{\Big )}^{2}}\,dz,\quad t\in \mathbb {R} .\qquad \qquad (1)}$$Cal notar que quan ${\displaystyle \nu }$ és un nombre natural, aquesta fórmula es pot escriure en termes de la funció ${\displaystyle Hh}$:^[5] $${\displaystyle f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}\,\nu !\,e^{-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2(\nu +t^{2})}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})\,(\nu +t^{2})^{\frac {\nu +1}{2}}}}\,Hh_{\nu }{\Big (}-{\frac {t\mu }{\sqrt {\nu +t^{2}}}}{\Big )},\quad t\in \mathbb {R} ,}$$on $${\displaystyle Hh_{n}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{\infty }z^{n}e^{-{\frac {1}{2}}(z+x)^{2}}\,dz={\frac {1}{n!}}\int _{x}^{\infty }(u-x)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}\,du.}$$Per a la funció ${\displaystyle Hh}$ vegeu, per exemple, Jeffreys and Jeffreys.^[6]
Expressió en sèrie ^[7] $${\displaystyle f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}\,e^{-\mu ^{2}/2}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\mu ^{j}}{j!}}\,2^{j/2}\Gamma (\nu +j+1){\frac {t^{j}}{(t^{2}+\nu )^{\frac {\nu +j+1}{2}}}},\quad t\in \mathbb {R} .\qquad \qquad (2)}$$

Expressió en termes de funcions especials

Utlitizant la funció cilíndrica parabòlica ${\displaystyle U}$,^[8] tenim ^[9]$${\displaystyle f(t)={\frac {{\sqrt {2}}{\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}^{\frac {\nu }{2}}\,\Gamma (\nu +1)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}{\frac {e^{-{\frac {\mu ^{2}}{4(\nu +t^{2})}}(2\nu +t^{2})}}{(\nu +t^{2})^{\frac {\nu +1}{2}}}}\,U{\Big (}\nu +{\frac {1}{2}},-{\frac {t\mu }{\sqrt {\nu +t^{2}}}}{\Big )},\quad t\in \mathbb {R} .\qquad \qquad (3)}$$Mitjançant la funció hipergeomètrica confluent ${\displaystyle _{1}\!F_{1}(a;b;z)}$ , també denotada per ${\displaystyle M(a,b,z)}$,^[10] tenim $${\displaystyle f(t)=\underbrace {{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\tfrac {\nu +1}{2}}}} _{{\text{densitat de la }}t{\text{ de Student ordinaria}}}e^{-\mu ^{2}/2}{\Big \{}A_{\nu }(t,\mu )+B_{\nu }(t,\mu ){\Big \}},\qquad \qquad (4)}$$on $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\nu }(t,\mu )&={_{1}\!F}_{1}\left({\frac {\nu +1}{2}}\,;\,{\frac {1}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}t^{2}}{2(t^{2}+\nu )}}\right),\\B_{\nu }(t,\mu )&={\frac {{\sqrt {2}}\mu t}{\sqrt {t^{2}+\nu }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu }{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}}{_{1}\!F}_{1}\left({\frac {\nu }{2}}+1\,;\,{\frac {3}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}t^{2}}{2(t^{2}+\nu )}}\right),\end{aligned}}}$$

Expressió en termes de la funció de distribució El programari estadístic R i altres programes estadístics utilitzen la següent expressió per calcular la funció de densitat:^[11] $${\displaystyle f(t)={\begin{cases}{\dfrac {\nu }{t}}\,{\Bigg (}F_{\nu +2,\mu }\left(t{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}\right)-F_{\nu ,\mu }(t){\Bigg )},&{\mbox{si}}\ t\neq 0,\\\\{\dfrac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\,e^{-\mu ^{2}/2},&{\mbox{si}}\ t=0,\end{cases}}\qquad \qquad (5)}$$on ${\displaystyle F_{\nu ,\mu }}$ és la funció de distribució de la distribució ${\displaystyle t}$ no central amb ${\displaystyle \nu }$ graus de llibertat i paràmetre de no centralitat ${\displaystyle \mu }$ (vegeu el següent apartat).

Prova

Fórmula (1)

Escrivim $${\displaystyle T={\frac {X}{Y}},}$$amb ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1)}$, ${\displaystyle Y=H/{\sqrt {\nu }}}$, on ${\displaystyle H\sim \chi _{\nu }}$ (distribució khi amb ${\displaystyle \nu }$ graus de llibertat), ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ independents. Utilitzant que si una variable aleatòria ${\displaystyle M}$ té funció de densitat ${\displaystyle f_{M}}$, llavors la variable aleatòria ${\displaystyle N=CM}$, amb ${\displaystyle C\neq 0}$, té funció de densitat ${\displaystyle f_{N}(x)={\frac {1}{\vert C\vert }}f{\big (}{\frac {x}{C}}{\big )}}$, tenim que la funció de densitat de ${\displaystyle Y}$ és $${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}}{2^{{\frac {\nu }{2}}-1}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,y^{\nu -1}e^{-{\frac {\nu y^{2}}{2}}},\ y>0.}$$Donada la independència entre ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$, la funció de densitat conjunta del vector ${\displaystyle (X,Y)}$ és $${\displaystyle f_{(X,Y)}(x,y)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,y^{\nu -1}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}+\nu y^{2}}{2}}},\quad (x,y)\in \mathbb {R} \times (0,\infty ).}$$Considerem la transformació $${\displaystyle h(X,Y)=(T,Y),\ {\text{amb}}\ T={\frac {X}{Y}},}$$específicament $${\displaystyle {\begin{aligned}h:\mathbb {R} \times &(0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} \times (0,\infty )\\&(x,y)\longmapsto (t,y)\end{aligned}}}$$on ${\displaystyle t=x/y}$. Aquesta funció és bijectiva de classe ${\displaystyle C^{1}}$. La funció inversa és $${\displaystyle {\begin{aligned}g=h^{-1}:\mathbb {R} \times &(0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} \times (0,\infty )\\&(t,y)\longmapsto (x,y)\end{aligned}}}$$amb ${\displaystyle x=ty}$. El valor absolut del determinant jacobià de ${\displaystyle g}$ és ${\displaystyle J_{g}=y}$. Llavors (vegeu la pàgina de vector aleatori) la densitat de ${\displaystyle (T,Y)}$ (després d'arreglar l'expressió) és

$${\displaystyle f_{(T,Y)}(t,y)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,y^{\nu }e^{-{\frac {(t^{2}+\nu )y^{2}-2ty\mu }{2}}},\quad (t,y)\in \mathbb {R} \times (0,\infty ).}$$Llavors, per a ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, $${\displaystyle f_{T}(t)=\int _{0}^{\infty }f_{(T,Y)}(t,y)\,dy={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,\int _{0}^{\infty }y^{\nu }e^{-{\frac {(t^{2}+\nu )y^{2}-2ty\mu }{2}}}\,dy.\quad \quad (*)}$$Fent el canvi ${\displaystyle z={\sqrt {\nu +t^{2}}}}$, arribem a l'expressió (1) $${\displaystyle f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}\,e^{-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2(\nu +t^{2})}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma (\nu /2)(\nu +t^{2})^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }z^{\nu }e^{-{\frac {1}{2}}{\Big (}z-{\frac {t\mu }{\sqrt {\nu +t^{2}}}}{\Big )}^{2}}\,dz.}$$

Expressió en sèrie. Retornem a l'expressió (*), que equival a $${\displaystyle f_{T}(t)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,\int _{0}^{\infty }y^{\nu }e^{-{\frac {(t^{2}+\nu )y^{2}}{2}}}\,e^{-ty\mu }\,dy,}$$i descomponem ${\displaystyle e^{ty\mu }}$ en sèrie de potències en la variable ${\displaystyle y}$. A continuació es raona que es pot intercanviar la integral amb el sumatori i s'arriba a $${\displaystyle f_{T}(t)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}t^{j}\mu ^{j}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}j!}}\sum _{j=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }y^{\nu +j}e^{-{\frac {(t^{2}+\nu )y^{2}}{2}}}\,dy,}$$i es calcula cada integral fent el canvi de variable ${\displaystyle (t^{2}+\nu )y^{2}/2=z}$ , amb la qual cosa obtenim (2).

Expressions en termes de funcions especials. La fórmula (3) es dedueix de la fórmula (1) utilitzant la representació integral de la funció cilíndrica parabòlica ${\displaystyle U}$ :^[12] per a ${\displaystyle a>-1/2}$, $${\displaystyle U(a,t)={\frac {e^{-t^{2}/4}}{\Gamma ({\frac {1}{2}}+a)}}\int _{0}^{\infty }z^{a-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}-zt}\,dz.}$$

La fórmula (4) s'obté a partir de (3) mitjançant la relació entre les funcions cilíndriques parabòliques i les funcions hipergeomètriques confluents ^[13][14][15] $${\displaystyle U(a,x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{{\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}}}\,\Gamma ({\frac {3}{4}}+{\frac {a}{2}})}}\,e^{-x^{2}/4}\,_{1}\!F_{1}{\Big (}{\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}};{\frac {1}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}{\Big )}-{\frac {\sqrt {\pi }}{2^{{\frac {a}{2}}-{\frac {1}{4}}}\,\Gamma ({\frac {1}{4}}+{\frac {a}{2}})}}\,x\,e^{-x^{2}/4}\,_{1}\!F_{1}{\Big (}{\frac {a}{2}}+{\frac {3}{4}};{\frac {3}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}{\Big )}.}$$Expressió en termes de la funció de distribució (5): vegeu el següent apartat.

La funció de distribució de la distribució t no central amb ${\displaystyle \nu }$ graus de llibertat i el paràmetre de no centralitat ${\displaystyle \mu }$ es pot expressar com ^[16][17] $${\displaystyle F_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\widetilde {F}}_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{si }}x\geq 0,\\\\1-{\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(-x),&{\mbox{si }}x<0,\end{cases}}\qquad \qquad (6)}$$on

$${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\bigg (}p_{j}I_{y}{\Big (}j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\Big )}+q_{j}I_{y}{\Big (}j+1,{\frac {\nu }{2}}{\Big )}{\bigg )},\qquad \qquad (7)}$$

${\displaystyle I_{y}\,\!(a,b)}$ és la funció beta incompleta regularitzada,

$${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},\quad p_{j}={\frac {1}{j!}}\,{\bigg (}{\frac {\mu ^{2}}{2}}{\bigg )}^{j}\,e^{-\mu ^{2}/2}\quad {\text{i}}\quad q_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\,\Gamma (j+{\frac {3}{2}})}}\,{\bigg (}{\frac {\mu ^{2}}{2}}{\bigg )}^{j}\,e^{-\mu ^{2}/2},}$$

i ${\displaystyle \Phi }$ és la funció de distribució de la distribució normal estàndard. Cal notar que ${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)}$ només depèn de ${\displaystyle x^{2}}$i per tant en (6), per a ${\displaystyle x<0}$ és indistint posar ${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(-x)}$ o ${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x)}$.

Prova

Aquesta fórmula s'obté a partir de l'expressió en sèrie de la funció de densitat (2). Començarem demostrant una fórmula intermèdia que ens serà d'utilitat més endavant. Argumentant que la convergència de la sèrie en (2) és uniforme en qualsevol interval finit,^[18] podem integrar terme a terme; concretament, per a ${\displaystyle x>0}$, s'obté $${\displaystyle P(0<T\leq x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\mu ^{j}}{j!}}2^{j/2}\,\Gamma {\Big (}{\frac {j+1}{2}}{\Big )}I_{x^{2}/(\nu +x^{2})}{\Big (}{\frac {j+1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\Big )}.}$$Ara s'utilitza la fórmula de duplicació de la funció gamma: $${\displaystyle \Gamma {\Big (}{\frac {j+1}{2}}{\Big )}={\frac {2^{-j}j!\,{\sqrt {\pi }}}{\Gamma {\Big (}{\frac {j}{2}}+1{\Big )}}},}$$i s'obté $${\displaystyle P(0<T\leq x)={\frac {1}{2}}\,e^{-\mu ^{2}/2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\mu ^{j}}{2^{j/2}}}\,{\frac {1}{\Gamma {\Big (}{\frac {j}{2}}+1{\Big )}}}I_{x^{2}/(\nu +x^{2})}{\Big (}{\frac {j+1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\Big )}.}$$D'altra banda, $${\displaystyle P(T\leq 0)=P{\Big (}{\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}\leq 0{\Big )}=P(Z+\mu \leq 0)=P(Z\leq -\mu )=\Phi (-\mu ).}$$Així,

$${\displaystyle F_{\nu ,\mu }(x)=P(T\leq 0)+P(0<T\leq x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\,e^{-\mu ^{2}/2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\mu ^{j}}{2^{j/2}}}\,{\frac {1}{\Gamma {\Big (}{\frac {j}{2}}+1{\Big )}}}I_{x^{2}/(\nu +x^{2})}{\Big (}{\frac {j+1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\Big )}.\qquad \qquad (8)}$$Designem l'expressió de la dreta per ${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)}$ .

Per a ${\displaystyle x\leq 0}$ , tenim $${\displaystyle {\begin{aligned}P(T\leq x)&=P{\Big (}{\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}\leq x{\Big )}=P{\Big (}{\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}\leq x-{\frac {\mu }{\sqrt {V/\nu }}}{\Big )}=P{\Big (}{\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}\geq -x+{\frac {\mu }{\sqrt {V/\nu }}}{\Big )}\\&=1-P{\Big (}{\frac {Z-\mu }{\sqrt {V/\nu }}}\leq -x{\Big )}=1-{\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(-x)=1-{\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),\end{aligned}}}$$on hem utilitzat que ${\displaystyle Z/{\sqrt {V/\nu }}}$ és simètrica respecte el 0 i que la funció ${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)}$ que hem calculat abans només depèn de ${\displaystyle x^{2}}$ .

Finalment, per obtenir l'expressió (7), el sumatori de (8) es separa en dos, un pels els índexs ${\displaystyle j}$ parells i l'altre pels senars i s'obté la fórmula que volíem demostrar.

Demostració de la fórmula de la densitat en termes de la funció de distribució

La demostració consisteix en calcular la diferència ${\displaystyle F_{\nu +2,\mu }{\bigg (}t{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}{\bigg )}-F_{\nu ,\mu }(t)}$ utilitzant la fórmula (8). Fixem ${\displaystyle t>0}$; el punt clau de la prova és que en la expressió (8) per a ${\displaystyle F_{\nu +2,\mu }{\bigg (}t{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}{\bigg )}}$ i ${\displaystyle F_{\nu ,\mu }(t)}$, per a cada terme ${\displaystyle j}$ del sumatori, el subíndex de la funció gamma incompleta és el mateix. Concretament, si definim la funció $${\displaystyle y(z,\alpha )={\frac {z^{2}}{\alpha +z^{2}}},}$$llavors, $${\displaystyle y{\Big (}t{\sqrt {1+{\tfrac {2}{\nu }}}},\nu +2{\Big )}=y(t,\nu )={\frac {t^{2}}{\nu +t^{2}}}.}$$Ara aplicarem la fórmula ^[19] $${\displaystyle I_{y}(p,q+1)-I_{y}(p,q)={\frac {y^{p}(1-y)^{q}}{q\,B(p,q)}},}$$on ${\displaystyle B(p,q)}$ és la funció Beta a cadascuna de les diferències entre els sumands del mateix índex ${\displaystyle j}$ (ambdues sèries són convergents i les podem restar terme a terme) tindrem $${\displaystyle I_{\frac {t^{2}}{\nu +t^{2}}}{\Big (}{\frac {j+1}{2}},{\frac {\nu +2}{2}}{\Big )}-I_{\frac {t^{2}}{\nu +t^{2}}}{\Big (}{\frac {j+1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\Big )}={\frac {{\Big (}{\frac {t^{2}}{\nu +t^{2}}}{\Big )}^{\frac {j+1}{2}}{\Big (}1-{\frac {t^{2}}{\nu +t^{2}}}{\Big )}^{\frac {\nu }{2}}\,\Gamma ({\frac {\nu +j+1}{2}})}{{\frac {\nu }{2}}\,\Gamma ({\frac {j+1}{2}})\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}.}$$

Aplicant la fórmula de duplicació i simplificant, i ajuntant tots els termes del sumatori, s'obté ${\displaystyle t/\nu }$ multiplicant l'expressió de la dreta de (2), amb la qual cosa es demostra (5) quan ${\displaystyle t>0}$.

Per a ${\displaystyle t<0}$ , pels càlculs que acabem de ferm, tenim que $${\displaystyle F_{\nu +2,\mu }{\bigg (}t{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}{\bigg )}-F_{\nu ,\mu }(t)={\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(-t)-{\widetilde {F}}_{\nu +2,-\mu }{\bigg (}-t{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}{\bigg )}={\frac {-t}{\nu }}{\big (}-f_{\nu ,-\mu }(-t){\big )},}$$on ${\displaystyle f_{\nu ,\mu }(t)}$ designa la funció de densitat de la distribució ${\displaystyle t}$ amb ${\displaystyle \nu }$ graus de llibertat i paràmetre de no centralitat ${\displaystyle \mu }$. Però tal com es comprova a partir de (1) o (2), $${\displaystyle f_{\nu ,-\mu }(-t)=f_{\nu ,\mu }(t).}$$

D'on resulta la fórmula que volíem demostrar.

El moment d'ordre ${\displaystyle k}$ d'una distribució ${\displaystyle t}$ no central és ^[20]

$${\displaystyle {\mbox{E}}\left[T^{k}\right]={\begin{cases}{\Big (}{\dfrac {\nu }{2}}{\Big )}^{\frac {k}{2}}\,{\dfrac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu -k}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,e^{-\mu ^{2}/2}{\dfrac {d^{k}e^{\mu ^{2}/2}}{d\mu ^{k}}},&{\mbox{si }}k<\nu ,\\\\{\mbox{no existeix}},&{\mbox{si }}k\geq \nu ,\end{cases}}}$$

on ${\displaystyle d^{k}e^{\mu ^{2}/2}/d\mu ^{k}}$ designa la derivada d'ordre k -èssim de la funció ${\displaystyle e^{\mu ^{2}/2}}$ .

En particular, la mitjana i la variància són

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{E}}[T]&={\begin{cases}\mu \,{\sqrt {\dfrac {\nu }{2}}}\,{\dfrac {\Gamma {\Big (}{\frac {\nu -1}{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}},&{\mbox{si }}\nu >1,\\\\{\mbox{no existeix}},&{\mbox{si }}\nu \leq 1,\\\end{cases}}\\\\{\mbox{Var}}(T)&={\begin{cases}{\dfrac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\dfrac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\dfrac {\Gamma {\Big (}{\frac {\nu -1}{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}\right)^{2},&{\mbox{si }}\nu >2,\\\\{\mbox{no existeix}},&{\mbox{si }}\nu \leq 2.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Prova

Com en el cas dels moments de la distribució ${\displaystyle t}$ de Student, el càlcul dels moments de la distribució ${\displaystyle t}$ no central es redueix a $${\displaystyle E[T^{k}]=\nu ^{k/2}E{\big [}V^{-k/2}{\big ]}\,E{\big [}(Z+\mu )^{k}{\big ]}.}$$Vegeu el càlcul de ${\displaystyle E{\big [}V^{-k/2}{\big ]}}$ a la distribució ${\displaystyle t}$ de Student. També tenim que per a una variable ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ normal estàndard (vegeu els moments de la distribució normal), $${\displaystyle E{\big [}(Z+\mu )^{k}{\big ]}=e^{-\mu ^{2}/2}\,{\dfrac {d^{k}e^{\mu ^{2}/2}}{d\mu ^{k}}}.}$$

Vegeu Johnson and Welch .^[21] Sigui ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ una mostra d'una població normal ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, és a dir, les variables aleatòries ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ són independents i totes tenen distribució ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$. Fixem un número ${\displaystyle \mu _{0}\in \mathbb {R} }$. Volem contrastar $${\displaystyle H_{0}:\ \mu =\mu _{0}\qquad {\text{contra}}\quad H_{1}:\ \mu >\mu _{0}.}$$En el contrast de Student, l'estadístic de contrast és $${\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S/{\sqrt {n}}}},}$$on ${\displaystyle {\overline {X}}}$ la mitjana mostral $${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}$$i ${\displaystyle S^{2}}$és la variància mostral (modificada)$${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2}.}$$Aleshores, sota la hipòtesi nul.la ${\displaystyle H_{0}}$, ${\displaystyle T\sim t_{n-1}}$ (vegeu la distribució ${\displaystyle t}$ de Student). Fixat un nivell de significació ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ (habitualment ${\displaystyle \alpha =0'05}$ 0 ${\displaystyle 0'01}$, per determinar la regió crítica calculem el valor ${\displaystyle c_{\alpha }}$ tal que $${\displaystyle P(W>c_{\alpha })=\alpha ,}$$on ${\displaystyle W\sim t_{n-1}}$. Llavors, rebutgem ${\displaystyle H_{0}}$ si ${\displaystyle T>c_{\alpha }}$.

Donat un valor ${\displaystyle \mu _{1}>\mu _{0}}$(per tant, de la hipòtesi alternativa), podem calcular la potència del test, és a dir, la probabilitat de rebutjat la hipòtesi nul.la quan és falsa) en aquest punt de la següent manera: escrivim $${\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {{\overline {X}}-\mu _{1}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}+{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}}{S/\sigma }}.}$$En l'expressió de la dreta,

1. Si suposem ${\displaystyle \mu =\mu _{1}}$, llavors ${\displaystyle ({\overline {X}}-\mu _{1})/(\sigma /{\sqrt {n}})\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ .
2. Tenim que $${\displaystyle {\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {(n-1)S^{2}}{(n-1)\sigma ^{2}}}={\frac {{\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})}{n-1}},}$$i per tant ${\displaystyle S^{2}/\sigma ^{2}}$ és una variable aleatòria amb una distribució ${\displaystyle \chi _{n-1}^{2}}$ (vegeu l'article sobre la distribució khi quadrat) dividida pels seus graus de llibertat.
3. Les variables aleatòries dels punts 1 i 2 són independents (vegeu l'article sobre la distribució khi quadrat) .

En conseqüència, si ${\displaystyle \mu =\mu _{1}}$, ${\displaystyle T\sim t_{n-1}{\bigg (}{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}{\bigg )}}$. Llavors, la potència del test en el punt ${\displaystyle \mu _{1}}$ serà $${\displaystyle P(T>c_{\alpha }\,\vert \mu =\mu _{1})=1-F_{n-1,{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}}(c_{\alpha }).}$$

Els intervals de tolerància normals unilaterals tenen una solució exacta en termes de la mitjana mostral i la variància mostral basada en la distribució t no central.^[22] Això permet calcular un interval estadístic dins del qual, amb un cert nivell de confiança, es troba una proporció especificada d'una població mostrada.