Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
En matemáticas, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff permite hallar la solución de para la ecuación
con e que pueden ser no conmutativos en el álgebra de Lie de un grupo de Lie. Hay varias formas de escribir la fórmula, pero todas finalmente producen una expresión para en términos algebraicos de Lie, es decir, como una serie formal (no necesariamente convergente) en e y conmutadores iterados de los mismos. Los primeros términos de esta serie son:
donde "" indica términos que involucran conmutadores superiores de e . Si e son elementos suficientemente pequeños del álgebra de Lie de un grupo de Lie , la serie es convergente. Mientras tanto, cada elemento suficientemente cerca de la identidad en puede expresarse como por un pequeño en . Por lo tanto, se puede decir que cerca de la identidad la multiplicación grupal en — escrita como — puede expresarse en términos puramente algebraicos de Lie. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se puede utilizar para proporcionar demostraciones comparativamente simples de resultados profundos en la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie.
Si e son matrices lo suficientemente pequeñas de orden , entonces se puede calcular como el logaritmo de , donde los exponenciales y el logaritmo se pueden calcular como series de potencias. El punto de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff es, entonces, la afirmación claramente no obvia de que puede expresarse como una serie en conmutadores repetidos de e .
Las exposiciones modernas de la fórmula se pueden encontrar, entre otros lugares, en los libros de Rossmann[1] y Hall.[2]
Historia
La fórmula lleva el nombre de Henry Frederick Baker, John Edward Campbell y Felix Hausdorff, quienes establecieron su forma cualitativa, es decir, que solo se necesitan conmutadores y conmutadores de conmutadores, hasta el infinito, para expresar la solución. Una declaración anterior de la forma fue redactada por Friedrich Schur en 1890,[3] donde se daba una serie de potencias convergente, con términos definidos recursivamente.[4] Esta forma cualitativa es la que se usa en las aplicaciones más importantes, como las pruebas relativamente accesibles de la correspondencia de Lie y la teoría cuántica de campos. Siguiendo a Schur, Campbell[5] (1897) publicó la fórmula en forma impresa; Henri Poincaré[6] (1899) y Baker[7] (1902) la elaboraron; y Hausdorff[8] (1906) la sistematizó geométricamente y la vinculó a la identidad de Jacobi. La primera fórmula explícita real, con todos los coeficientes numéricos, se debe a Eugene Dynkin[9] (1947). La historia de la fórmula se describe en detalle en el artículo de Achilles y Bonfiglioli[10] y en el libro de Bonfiglioli y Fulci.[11]
Formas explícitas
Para muchos propósitos, solo es necesario saber que una expansión para en términos de conmutadores iterados de e existe. Los coeficientes exactos son a menudo irrelevantes (véase por ejemplo, la discusión de la relación entre el grupo de Lie y los homomorfismos del álgebra de Lie en la Sección 5.2 del libro de Hall,[2] donde los coeficientes precisos no juegan ningún papel en el argumento). Martin Eichler presentó una prueba de existencia notablemente directa[12] (véase también a continuación la sección "Resultados de existencia").
En otros casos, se puede necesitar información detallada sobre y por lo tanto es deseable calcular tan explícitamente como sea posible. Existen numerosas fórmulas; aquí se describen dos de las principales (la fórmula de Dykin y la fórmula integral de Poincaré).
Fórmula de Dynkin
Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie . Entonces
es una aplicación exponencial. La siguiente fórmula combinatoria general fue introducida por Eugene Dynkin (1947),[13][14]
donde la suma se realiza sobre todos los valores no negativos de y , y se ha utilizado la siguiente notación:
Cabe destacar que la serie no es convergente en general; es convergente (y la fórmula establecida es válida) para todos e lo suficientemente pequeños. Como [A, A] = 0, el término es cero si o si y .[15]
Los primeros términos son bien conocidos, con todos los términos de orden superior que involucran [ X, Y ] y sus anidaciones de conmutador (por lo tanto, en el álgebra de Lie):
Fórmula integral
Hay numerosas otras expresiones para , muchas de las cuales se utilizan en la literatura de física.[16] Una fórmula integral conocida es[17][18]
involucrando la función generadora para los números de Bernoulli,
utilizada por Poincaré y Hausdorff.[nb 1]
Ilustración del grupo matricial de Lie
Para un grupo matricial de Lie el álgebra de Lie es el espacio tangente de la identidad I, y el conmutador es simplemente [ X, Y ] = XY - YX ; la aplicación exponencial es la aplicación exponencial estándar de matrices,
Cuando se resuelve para Z en
usando las expansiones de serie para exp y log, se obtiene una fórmula más simple:
- [nb 2]
Los términos de primer, segundo, tercer y cuarto orden son:
Cabe destacar que las fórmulas para los distintos 's no son la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. Más bien, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es una de las varias expresiones para 's en términos de conmutadores repetidos de e . El punto es que está lejos de ser obvio que es posible expresar cada en términos de conmutadores (se invita al lector, por ejemplo, a verificar mediante cálculo directo que es expresable como una combinación lineal de los dos conmutadores no triviales de tercer orden de e a saber e ). El resultado general de que cada se puede expresar como una combinación de conmutadores fue demostrado por Eichler de una manera elegante y recursiva.[19]
Una consecuencia de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es el siguiente resultado sobre la traza:
Es decir, ya que cada con es expresable como una combinación lineal de conmutadores, la traza de cada uno de estos términos es cero.
Cuestiones de convergencia
Supóngase que e son las siguientes matrices en el álgebra de Lie (el espacio de matrices con traza cero):
- .
Entonces
No es difícil demostrar[20] que no existe una matriz en con (se pueden encontrar ejemplos similares en el artículo de Wei[21]).
Este sencillo ejemplo ilustra un punto importante: las diversas versiones de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, que dan expresiones para Z en términos de paréntesis de Lie iterados de X e Y, describen series formales de potencias cuya convergencia no está garantizada. Por lo tanto, si se quiere que Z sea un elemento real del álgebra de Lie que contiene X e Y (en oposición a una serie de potencias formal), se debe suponer que X e Y son pequeños. Por lo tanto, la conclusión de que la operación del producto en un grupo de Lie está determinada por el álgebra de Lie es solo una declaración local. De hecho, el resultado no puede ser global, porque globalmente se puede tener grupos de Lie no isomórficos con álgebras de Lie isomórficas.
Concretamente, si se trabaja con un álgebra de Lie matricial y es una norma de matriz submultiplicativa dada, la convergencia está garantizada[14][22] si
Casos especiales
Si e conmutan, eso es , la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se reduce a .
Un caso más interesante supone que conmuta con ambos e , en cuanto al grupo nilpotente de Heisenberg. Entonces la fórmula se reduce a sus primeros tres términos.
Teorema:[23] Si e conmutan con su conmutador, , luego .
Este es el caso degenerado utilizado habitualmente en la mecánica cuántica, como se ilustra a continuación. En este caso, no hay restricciones de pequeñez en e . Este resultado está detrás de las "relaciones de conmutación exponencial" que entran en el teorema de Stone-von Neumann. A continuación se muestra una prueba simple de esta identidad.
Otra forma útil de la fórmula general enfatiza la expansión en términos de Y y usa la notación de correspondencia adjunta :
que es evidente por la fórmula integral anterior (los coeficientes de los conmutadores anidados con un solo son números de Bernoulli normalizados).
Ahora supóngase que el conmutador es un múltiplo de , así que . Entonces, todos los conmutadores iterados serán múltiplos de , y sin términos cuadráticos o superiores en . Por lo tanto, el término anterior desaparece y se obtiene:
Teorema:[24] Si , dónde es un número complejo con para todos los enteros , entonces se tiene que
Nuevamente, en este caso no hay restricción de pequeñez en e . La restricción sobre garantiza que la expresión en el lado derecho tiene sentido. (Cuando se puede interpretar que). También se obtiene una simple "identidad de trenzado":
que puede escribirse como una dilatación adjunta:
Resultados de existencia
Si e son matrices, se puede calcular usando la serie de potencias para el exponencial y el logaritmo, con convergencia de la serie si e son lo suficientemente pequeños. Es natural reunir todos los términos donde el grado total en e es igual a un número fijo , dando una expresión (consúltese la sección "Ilustración del grupo matricial de Lie" anterior para ver las fórmulas de los primeros 's). Una prueba recursiva notablemente directa y concisa de que cada es expresable en términos de conmutadores repetidos de e fue deducida por Martin Eichler.[25]
Alternativamente, se puede dar un argumento de existencia de la siguiente manera. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff implica que si X e Y están en algún álgebra de Lie definida sobre cualquier campo de característica 0 como o , entonces
puede escribirse formalmente como una suma infinita de elementos de . [Esta serie infinita puede o no converger, por lo que no se necesita definir un elemento real Z en ]. Para muchas aplicaciones, la mera garantía de la existencia de esta expresión formal es suficiente, y no se necesita una expresión explícita para esta suma infinita. Este es, por ejemplo, el caso en la construcción lorentziana[26] de una representación del grupo de Lie a partir de una representación del álgebra de Lie. La existencia se puede ver de la siguiente manera:
Considerando el anillo de todas las series de potencia formales no conmutativas con coeficientes reales en las variables X e Y no conmutativas. Existe un homomorfismo en anillo de S respecto al producto tensorial de S con S sobre R,
- ,
llamado el coproducto, de modo que
- y .
(La definición de Δ se extiende a los otros elementos de S al requerir R-linealidad, multiplicatividad y aditividad infinita).
Entonces, se pueden verificar las siguientes propiedades:
- La aplicación exp, definida por su serie estándar de Taylor, es una biyección entre el conjunto de elementos de S con término constante 0 y el conjunto de elementos de S con término constante 1; la inversa de exp es log
- es grupal (esto significa que ) si y solo si s es primitiva (esto significa que )
- Los elementos grupales forman un grupo bajo la multiplicación.
- Los elementos primitivos son exactamente las sumas infinitas formales de los elementos del álgebra de Lie generados por X e Y, donde el conmutador de Lie viene dado por el conmutador (Teorema de Friedrichs[16][13]).
La existencia de la fórmula de Campbell-Baker-Hausdorff ahora se puede ver de la siguiente manera:[13] Los elementos X e Y son primitivos, por lo que y son grupales; entonces su producto también es grupal; entonces su logaritmo es primitivo y, por lo tanto, puede escribirse como una suma infinita de elementos del álgebra de Lie generada por X e Y.
El álgebra envolvente universal del álgebra de Lie libre generada por X e Y es isomorfa al álgebra de todos los polinomios no conmutativos en X e Y. En común con todas las álgebras envolventes universales, tiene una estructura natural de álgebra de Hopf, con un coproducto Δ. El anillo S utilizado anteriormente es solo una forma completa de este álgebra de Hopf.
Fórmula de Zassenhaus
Una expansión combinatoria relacionada que es útil en aplicaciones duales[16] es:
donde los exponentes de orden superior en t también son conmutadores anidados, es decir, polinomios de Lie homogéneos.[27] Estos exponentes, Cn en exp(–tX) exp(t(X+Y)) = Πn exp(tn Cn), se deducen recursivamente mediante la aplicación de la expansión anterior de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.
Como corolario de esta expresión, se deduce la descomposición de Suzuki-Trotter.
Un lema importante y su aplicación a un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
La identidad
Sea G un grupo matricial de Lie y g su álgebra de Lie correspondiente. Supóngase que adX es el operador lineal en g definido por adX Y = [X,Y] = XY − YX para algunos X ∈ g fijos (el endomorfismo adjunto encontrado anteriormente). Denótese con AdA para A ∈ G fijo la transformación lineal de g dada por AdAY = AYA−1.
Un lema combinatorio estándar que se utiliza[17] para producir las expansiones explícitas anteriores es dado por[28]
entonces, explícitamente
Esta fórmula puede probarse mediante la evaluación de la derivada con respecto a s de f (s)Y ≡ esX Y e−sX, solución de la ecuación diferencial resultante y evaluación en s = 1,
o
- [29]
Una aplicación de la identidad
Para [X,Y] central, es decir, conmutar con X e Y,
En consecuencia, para g(s) ≡ esX esY, se deduce que
cuya solución es
Tomando da uno de los casos especiales de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff descrita anteriormente:
Más en general, para [X,Y] no central, la siguiente identidad de trenzado se deduce fácilmente,
Aplicación en mecánica cuántica
Un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es útil en mecánica cuántica y especialmente en óptica cuántica, donde X e Y son operadores espaciales de Hilbert, generando el álgebra de Heisenberg Lie. Específicamente, los operadores de posición y momento en mecánica cuántica, generalmente denotados y , satisfacen la relación de conmutación canónica:
donde es el operador identidad. Resulta que y conmutan con su conmutador. Por lo tanto, si se aplica formalmente un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff (aunque y son operadores ilimitados y no matrices), se concluiría que
Esta "relación de conmutación exponencial" se mantiene y forma la base del teorema de Stone-von Neumann.[30]
Una aplicación relacionada son los operadores de aniquilación y creación, â y ↠. Su colector [â†,â]= −I es el centro, es decir, conmuta con ambos â y â†. Como se indicó anteriormente, la expansión luego colapsa a la forma degenerada semi-trivial:
donde v es solo un número complejo.
Este ejemplo ilustra la resolución del operador de desplazamiento, exp(vâ†−v*â), mediante exponenciales de operadores y escalares de aniquilación y creación.[31]
Esta fórmula degenerada de Baker-Campbell-Hausdorff muestra el producto de dos operadores de desplazamiento como otro operador de desplazamiento (hasta un factor de fase), con el desplazamiento resultante igual a la suma de los dos desplazamientos,
dado que el grupo de Heisenberg proporcionan una representación nilpotente. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff degenerada también se usa con frecuencia en la teoría cuántica de campos.[32]
Véase también
- Matriz exponencial
- Logaritmo de una matriz
- Fórmula del producto de Lie (fórmula del producto de Trotter)
- Correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie
- Derivada de la aplicación exponencial
- Expansión de Magnus
- Teorema de Stone-von Neumann
- Desigualdad de Golden-Thompson
Notas
- ↑ Recuérdese que:
- ,
- ↑ Rossmann, 2002. Ecuación (2) Sección 1.3. Para álgebras de Lie matriciales sobre los campos R y C, el criterio de convergencia es que las series del logaritmo convergen por ambos lados de eZ = eXeY. Esto es así siempre que ||X|| + ||Y|| < log 2, ||Z|| < log 2 según la norma de Hilbert-Schmidt. La convergencia puede verificarse en un amplio dominio. Véase Rossmann, 2002 p. 24.
Referencias
- ↑ Rossmann, 2002
- ↑ a b Hall, 2015
- ↑ F. Schur (1890), "Neue Begruendung der Theorie der endlichen Transformationsgruppen," Mathematische Annalen, 35 (1890), 161–197. online copy
- ↑ see, e.g., Shlomo Sternberg, Lie Algebras (2004) Harvard University. (Véase página 10.)
- ↑ John Edward Campbell, Proceedings of the London Mathematical Society 28 (1897) 381–390; J. Campbell, Proceedings of the London Mathematical Society 29 (1898) 14–32.
- ↑ Henri Poincaré, Comptes rendus de l'Académie des Sciences 128 (1899) 1065–1069; Transactions of the Cambridge Philosophical Society 18 (1899) 220–255.
- ↑ Henry Frederick Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (1) 34 (1902) 347–360; H. Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (1) 35 (1903) 333–374; H. Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
- ↑ Felix Hausdorff, "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
- ↑ Rossmann, 2002 p. 23
- ↑ Achilles, 2012
- ↑ Bonfiglioli, 2012
- ↑ Martin Eichler (1968). "A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff formula", Journal of the Mathematical Society of Japan 20, 23-25. online open access.
- ↑ a b c Nathan Jacobson, Lie Algebras, John Wiley & Sons, 1966.
- ↑ a b Dynkin, Eugene Borisovich (1947). «Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff» [Calculation of the coefficients in the Campbell–Hausdorff formula]. Doklady Akademii Nauk SSSR (en russian) 57: 323-326.
- ↑ A.A. Sagle & R.E. Walde, "Introduction to Lie Groups and Lie Algebras", Academic Press, New York, 1973. ISBN 0-12-614550-4.
- ↑ a b c Magnus, Wilhelm (1954). «On the exponential solution of differential equations for a linear operator». Communications on Pure and Applied Mathematics 7 (4): 649-673. doi:10.1002/cpa.3160070404.
- ↑ a b W. Miller, Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York, 1972, pp 159–161. ISBN 0-12-497460-0
- ↑ Hall, 2015 Theorem 5.3
- ↑ Martin Eichler (1968). "A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff formula", J. Math. Soc. Japan 20, 23-25. online open access.
- ↑ Hall, 2015 Example 3.41
- ↑ Wei, James (October 1963). «Note on the Global Validity of the Baker-Hausdorff and Magnus Theorems.». Journal of Mathematical Physics 4 (10): 1337-1341. Bibcode:1963JMP.....4.1337W. doi:10.1063/1.1703910.
- ↑ Biagi, Stefano; Bonfiglioli, Andrea; Matone, Marco (2018). «On the Baker-Campbell-Hausdorff Theorem: non-convergence and prolongation issues». Linear and Multilinear Algebra (en inglés): 1-19. ISSN 0308-1087. arXiv:1805.10089. doi:10.1080/03081087.2018.1540534.
- ↑ Hall, 2015 Theorem 5.1
- ↑ Hall, 2015 Exercise 5.5
- ↑ Eichler, Martin (1968). «A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff formula». Journal of the Mathematical Society of Japan 20: 23-25. doi:10.2969/jmsj/02010023.
- ↑ Hall, 2015 Section 5.7
- ↑ Casas, F.; Murua, A.; Nadinic, M. (2012). «Efficient computation of the Zassenhaus formula». Computer Physics Communications 183 (11): 2386-2391. Bibcode:2012CoPhC.183.2386C. arXiv:1204.0389. doi:10.1016/j.cpc.2012.06.006.
- ↑ Hall, 2015 Proposition 3.35
- ↑ Rossmann, 2002 p. 15
- ↑ Hall, 2015 Chapter 14
- ↑ L. Mandel, E. Wolf Optical Coherence and Quantum Optics (Cambridge 1995).
- ↑ Greiner, 1996 See pp 27-29 for a detailed proof of the above lemma.
Bibliografía
- Achilles, R., & Bonfiglioli, A. (2012). "The early proofs of the theorem of Campbell, Baker, Hausdorff, and Dynkin". Archive for history of exact sciences, 66(3), 295-358. doi 10.1007/s00407-012-0095-8
- Yu.A. Bakhturin (2001) [1994], "Campbell–Hausdorff formula", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bonfiglioli, A., Fulci, R. (2012): Topics in Noncommutative Algebra: The Theorem of Campbell, Baker, Hausdorff and Dynkin. Springer
- L. Corwin & F.P Greenleaf, Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples, Cambridge University Press, New York, 1990, ISBN 0-521-36034-X.
- Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer Publishing, ISBN 978-3-540-59179-5 .
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 (2nd edición), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6 .
- Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 978-0-19-859683-7 .
- Serre, Jean-Pierre (1965). Lie algebras and Lie groups. Benjamin.
- Schmid, Wilfried (1982). «Poincaré and Lie groups». Bulletin of the American Mathematical Society 6: 175−186. doi:10.1090/s0273-0979-1982-14972-2.
- Shlomo Sternberg (2004) Lie Algebras, Orange Grove Books, ISBN 978-1616100520 free, online
- Veltman, M, 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Lie Groups in Physics", online lectures.
Enlaces externos
- C.K. Zachos, Crib Notes on CBH expansions doi 10.13140/2.1.3090.2409
- MathWorld page
Datos: Q804316