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Fonction arc sinus
Représentation graphique de la fonction arc sinus.
En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre et .
La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée ([1] ou en notation française, et , parfois ou , en notation anglo-saxonne).
Dans un repère cartésienorthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle par la réflexion d'axe la droite d'équation .
Comme dérivée d'une bijection réciproque, est dérivable sur et vérifie : . Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation : .
De la relation valable pour tout complexe : , on déduit
.
D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :, valable pour .
Le développement en série est alors valable pour tout dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.
Références
↑Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles : Filière : scientifique (MPSI), 35 p. (lire en ligne [PDF]), « Techniques fondamentales de calcul en analyse », p. 10
(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 4.4, p. 79-83
Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :