Twierdzenie Arzeli-Ascolego

Twierdzenie Arzeli-Ascolego – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej, podające – w najprostszym przypadku – warunek wystarczający możliwości znalezienia podciągu w ciągu funkcji ciągłych, określonych na przestrzeni zwartej, zbieżnego jednostajnie. Pierwsza wersja twierdzenia została udowodniona w roku 1883 przez Giulio Ascolego^[1], na długo przed wykształceniem się aparatu współczesnej topologii, lecz mimo to sens tego twierdzenia jest czysto topologiczny, a ono samo mówi de facto o (względnie) zwartych podzbiorach przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą/topologią zbieżności jednostajnej.

Twierdzenie Arzeli-Ascolego ma liczne zastosowania w matematyce. Za jego pomocą można na przykład udowodnić istnienie rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego

${\displaystyle y'=f(x,y)}$

gdy o funkcji ${\displaystyle f}$ nie zakłada się nic więcej poza jej ciągłością (zob. twierdzenie Peana).

Pojęcia wstępne

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami topologicznymi. Symbol ${\displaystyle C(X,Y)}$ oznacza przestrzeń funkcji ciągłych określonych na ${\displaystyle X}$ i o wartościach w ${\displaystyle Y.}$

• Gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią zwartą, a ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią Banacha to ${\displaystyle C(X,Y)}$ jest przestrzenią Banacha z normą supremum.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią metryczną oraz ${\displaystyle Y}$ będzie przestrzenią unormowaną. Mówi się, że rodzina ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq C(X,Y)}$ jest

• wspólnie ograniczona, gdy dla pewnego ${\displaystyle M>0}$ i dla każdego ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \|f\|_{Y}\leqslant M,}$

• jednakowo ciągła (albo równociągła), gdy dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje takie ${\displaystyle \delta >0,}$ że dla wszelkich ${\displaystyle x,y\in X}$ oraz każdego ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle d(x,y)<\delta \Rightarrow \|f(x)-f(y)\|_{Y}<\varepsilon ,}$

• punktowo relatywnie zwarta, gdy dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ domknięcie zbioru

${\displaystyle \{f(x)\colon \,f\in {\mathcal {F}}\}}$ jest zbiorem zwartym.

Twierdzenie

Wersja klasyczna

Klasyczna wersja twierdzenia Arzeli-Ascolego mówi, że

• Jeżeli ${\displaystyle (f_{n})}$ jest ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na przedziale zwartym, który jest wspólnie ograniczony i jednakowo ciągły (tzn. rodzina ${\displaystyle \{f_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}}$ jest jednakowo ciągła), to zawiera on podciąg zbieżny jednostajnie.

Założenie jednakowej ciągłości jest istotne – istnieje ciąg ograniczonych funkcji ciągłych ${\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,}$ który nie ma podciągu zbieżnego jednostajnie. Istotnie, niech

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+(1-nx)^{2}}}}$

dla ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$ oraz ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Licznik i mianownik wyrażenia ${\displaystyle f_{n}}$ są nieujemne, skąd ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant 1}$ (wspólna ograniczoność na [0,1]). Ponadto,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}$

dla każdego ${\displaystyle x\in [0,1],}$ ale

${\displaystyle f_{n}\left({\tfrac {1}{n}}\right)=1}$

dla ${\displaystyle n=1,2,3\dots ,}$ więc żaden podciąg ciągu ${\displaystyle (f_{n})}$ nie jest zbieżny jednostajnie.

Twierdzenie Arzeli-Ascolego jest niejako odwróceniem twierdzenia mówiącego, że

• Jeżeli ${\displaystyle (f_{n})}$ jest ciągiem funkcji określonych na przestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle \{f_{n}\colon \in \mathbb {N} \}}$ jest rodziną jednakowo ciągłą.

Istotnie, niech ${\displaystyle \varepsilon >0}$ będzie ustaloną liczbą, a zatem istnieje liczba naturalna ${\displaystyle N}$ taka, że

${\displaystyle \|f_{n}-f_{N}\|_{C(X,Y)}<\varepsilon }$ dla ${\displaystyle n>N.}$

Każda funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym jest jednostajnie ciągła (zob. twierdzenie Diniego), więc istnieje liczba ${\displaystyle \delta >0}$ taka, że

${\displaystyle |f_{i}(x)-f_{i}(y)|<\varepsilon }$

dla ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant N,\;x,y\in X,\;d(x,y)<\delta .}$ Gdy ${\displaystyle d(x,y)<\delta }$ oraz ${\displaystyle n>N,}$ to

${\displaystyle |f_{n}(x)-f_{n}(y)|\leqslant |f_{n}(x)-f_{N}(x)|+|f_{N}(x)-f_{N}(y)|+|f_{N}(y)-f_{n}(y)|<\varepsilon +\varepsilon +\varepsilon =3\varepsilon ,}$

co kończy dowód.

Wersja ogólna

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zwartą przestrzenią metryczną oraz ${\displaystyle Y}$ będzie przestrzenią metryczną. Ogólną wersję twierdzenia Arzeli-Ascolego można sformułować w postaci warunku koniecznego i wystarczającego na to by podzbiór przestrzeni ${\displaystyle C(X,Y)}$ był zwarty w sensie topologii zwarto-otwartej:

• Rodzina ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq C(X,Y)}$ jest zwarta w sensie topologii zwarto-otwartej wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest jednakowo ciągła, punktowo relatywnie zwarta i domknięta.

Twierdzenie to jest rzeczywiście uogólnieniem wersji klasycznej twierdzenia Arzeli-Ascolego ponieważ w przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią zwartą, a ${\displaystyle Y}$ przestrzenią metryczną (lub ogólniej przestrzenią jednostajną), to topologia zwarto-otwarta pokrywa się topologią zbieżności jednostajnej w ${\displaystyle C(X,Y).}$

Uogólnienia

Poniżej znajdują się twierdzenia topologii ogólnej, które w literaturze topologicznej również noszą nazwy twierdzeń Ascolego:

• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle k}$-przestrzenią, a ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór ${\displaystyle F}$ przestrzeni ${\displaystyle Y^{X}}$ z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle F}$ jest rodziną jednakowo ciągła (elementami przestrzeni ${\displaystyle Y^{X}}$ są funkcje ${\displaystyle X\to Y}$) i dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ zbiór ${\displaystyle \{f(x)\colon f\in F\}\subseteq Y}$ ma zwarte domknięcie.
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle k}$-przestrzenią, a ${\displaystyle Y}$ przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór ${\displaystyle F}$ przestrzeni ${\displaystyle Y^{X}}$ z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru zwartego ${\displaystyle Z\subseteq X}$ przekształcenia rodziny ${\displaystyle F|Z=\{f|Z\colon \,f\in Z\}}$ są jednakowo ciągłe i dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ zbiór ${\displaystyle \{f(x)\colon f\in F\}\subseteq Y}$ ma zwarte domknięcie.

Kelley i Morse udowodnili powyższe twierdzenia w przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią lokalnie zwartą. Sformułowane wyżej uogólnienia na ${\displaystyle k}$-przestrzenie podali w roku 1966 Bagley i Young^[2].

Twierdzenie Ascolego-Arzeli dla multifunkcji

W roku 1976 Pedro Morales i Goeffrey Fox uogólnili twierdzenie Ascolego-Arzeli (-Morse’a-Kelleya) na przestrzenie multifunkcji. W celu sformułowania tego wyniku potrzebne są następujące definicje:

Niech ${\displaystyle X}$ będzie niepustym zbiorem oraz ${\displaystyle Y}$ będzie przestrzenią topologiczną.

• Multifunkcja ${\displaystyle f\colon X\rightsquigarrow Y}$ nayzwana jest punktowo zwartą, gdy dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ zbiór ${\displaystyle fx}$ jest zwarty. Symbolem ${\displaystyle (Y^{mX})_{0}}$ oznacza się rodzinę wszystkich punktowo zwartych multifunkcji z ${\displaystyle m}$-produktu ${\displaystyle Y^{mX}.}$
• Jeśli ${\displaystyle F\subseteq Y^{mX}}$ (zob. ${\displaystyle m}$-produkt) oraz ${\displaystyle x\in X,}$ to symbolem ${\displaystyle F[x]}$ oznacza się zbiór

${\displaystyle F[x]=\bigcup _{f\in F}fx.}$

• Zbiór ${\displaystyle F\subseteq Y^{mX}}$ nazywany jest punktowo ograniczonym, gdy dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ domknięcie w przestrzeni ${\displaystyle Y}$ zbioru ${\displaystyle F[x]}$ jest zbiorem zwartym.
• Zbiór ${\displaystyle W\subseteq Y^{mX}}$ nazywany jest zbiorem Tichonowa, gdy dla każdego punktowo ograniczonego zbioru ${\displaystyle F\subseteq Y^{mX}}$ zwarty jest zbiór (w sensie topologii w ${\displaystyle m}$-produkcie):

${\displaystyle W\cap \{{\mbox{cl}}_{Y}F[x]\colon \,x\in X\}.}$

• Niech dalej ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną. Multifunkcję ${\displaystyle f\colon X\rightsquigarrow Y}$ nazywamy ciągłą z dołu (ciągłą z góry) gdy dla każdego zbioru otwartego ${\displaystyle U\subseteq Y}$ zbiór ${\displaystyle f^{-}(U)}$ ${\displaystyle (f^{+}(U))}$ jest otwarty w ${\displaystyle X.}$ Multufunkcje ciągłe jednocześnie z dołu i z góry nazywane są ciągłymi.
• Zbiór ${\displaystyle F\subseteq Y^{mX}}$ nazywany równociągłym, gdy dla każdego ${\displaystyle x\in X,}$ dla każdego zwartego podzbioru ${\displaystyle K}$ przestrzeni ${\displaystyle Y}$ oraz dla każdego otoczenia otwartego ${\displaystyle V}$ zbioru ${\displaystyle K}$ istnieje otoczenie ${\displaystyle U\subseteq X}$ punktu ${\displaystyle X}$ oraz otoczenie ${\displaystyle W\subseteq Y}$ zbioru ${\displaystyle K}$ takie że
  • ${\displaystyle f\in F,\,fx\cap W\neq \varnothing \Rightarrow U\subseteq f^{-}(V),}$
  • ${\displaystyle f\in F\,fx\subseteq W\Rightarrow U\subseteq f^{+}(W).}$

Przypisy