Distribució de Champernowne

Distribució de Champernowne

Tipus	distribució de probabilitat simètrica i distribució de probabilitat contínua
Epònim	David Champernowne

En estadística, la distribució de Champernowne és una distribució de probabilitat simètrica i contínua, que descriu variables aleatòries que prenen tant valors positius com negatius. És una generalització de la distribució logística introduïda per David Champernowne.^[1][2][3] Champernowne va desenvolupar la distribució per descriure el logaritme dels ingressos.^[2]

La distribució de Champernowne té una funció de densitat de probabilitat donada per

${\displaystyle f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,}$

on ${\displaystyle \alpha ,\lambda ,y_{0}}$ són paràmetres positius, i n és la constant de normalització, que depèn dels paràmetres. La densitat pot ser reescrita com

${\displaystyle f(y)={\frac {n}{1/2e^{\alpha (y-y_{0})}+\lambda +1/2e^{-\alpha (y-y_{0})}}},}$

utilitzant el fet que ${\displaystyle \cosh y=(e^{y}+e^{-y})/2.}$

La densitat f(y) defineix una distribució simètrica amb la mediana y₀, que té cues una mica més pesades que una distribució normal.

El cas especial ${\displaystyle \lambda =1}$ és una funció de densitat de Burr tipus XII.

Quan ${\displaystyle y_{0}=0,\alpha =1,\lambda =1}$,

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{e^{y}+2+e^{-y}}}={\frac {e^{y}}{(1+e^{y})^{2}}},}$

que és la densitat de la distribució logística estàndard.

Si la distribució de Y, el logaritme d'ingressos, té una distribució de Champernowne, llavors la funció de densitat dels ingressos X = exp(Y) és^[1]

${\displaystyle f(x)={\frac {n}{x[1/2(x/x_{0})^{-\alpha }+\lambda +a/2(x/x_{0})^{\alpha }]}},\qquad x>0,}$

on x₀ = exp(y₀) és l'ingrés mitjà. Si λ = 1, aquesta distribució és sovint anomenada distribució Fisk,^[4] que té densitat

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{x_{0}^{\alpha }[1+(x/x_{0})^{\alpha }]^{2}}},\qquad x>0.}$

• Distribució logística generalitzada