Compus de douăsprezece antiprisme pentagonale cu libertate de rotație

Compus de douăsprezece antiprisme pentagonale cu libertate de rotație
(model 3D)
Descriere
Tipcompus poliedric uniform
UC25 - UC26 - UC27
Fețe144 (120 triunghiuri, 24 pentagoane)
Laturi (muchii)240
Vârfuri120
Configurația vârfului3.3.3.5[1]
Grup de simetrie
  • Compus: icosaedrică (Ih)
  • Constituenți: ciclică (S10)
Volum≈18,944 a3   (a = latura)
ProprietățiConstituenți: 12 antiprisme pentagonale

În geometrie compusul de douăsprezece antiprisme pentagonale cu libertate de rotație este un compus poliedric uniform realizat dintr-un aranjament simetric de 12 antiprisme pentagonale.[2]

Are indicele de compus uniform UC26.[2]

Construcție

Poate fi construit prin înscrierea unei perechi de antiprisme pentagonale într-un icosaedru în fiecare dintre cele șase moduri posibile și apoi rotind fiecare element dintr-o pereche cu un unghi θ egal și opus în jurul axei sale (care trece prin centrele a două fețe pentagonale opuse).

Când θ este de 36°, antiprismele coincid în perechi pentru a da două copii suprapuse ale compusului de șase antiprisme pentagonale (fără libertate de rotație).

Are în comun vârfurile cu compusul de douăsprezece retroprisme pentagramice cu libertate de rotație.

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt toate permutările ciclice ale

( ± ( ( 2 φ 1 ( 2 φ + 4 ) cos θ ) , {\displaystyle (\,\pm ((2\varphi -1-(2\varphi +4)\cos \theta ),}
± 2 5 φ + 10 sin θ , {\displaystyle \pm 2{\sqrt {5\varphi +10}}\,\sin \theta ,}
± ( φ + 2 + ( 4 φ 2 ) cos θ ) ) {\displaystyle \pm (\varphi +2+(4\varphi -2)\cos \theta )\,)}
( ± ( 2 φ 1 ( 2 φ 1 ) cos θ φ 5 φ + 10 sin θ ) , {\displaystyle (\,\pm (2\varphi -1-(2\varphi -1)\cos \theta -\varphi {\sqrt {5\varphi +10}}\,\sin \theta ),}
± ( 5 φ cos θ + φ 1 5 φ + 10 sin θ ) , {\displaystyle \pm (-5\varphi \cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {5\varphi +10}}\,\sin \theta ),}
± ( φ + 2 + ( 3 φ ) cos θ + 5 φ + 10 sin θ ) ) {\displaystyle \pm (\varphi +2+(3-\varphi )\cos \theta +{\sqrt {5\varphi +10}}\sin \theta )\,)}
( ± ( 2 φ 1 + ( 1 + 3 φ ) cos θ 5 φ + 10 sin θ ) , {\displaystyle (\,\pm (2\varphi -1+(1+3\varphi )\cos \theta -{\sqrt {5\varphi +10}}\,\sin \theta ),}
± ( 5 cos θ φ 5 φ + 10 sin θ ) , {\displaystyle \pm (-5\cos \theta -\varphi {\sqrt {5\varphi +10}}\,\sin \theta ),}
± ( φ + 2 ( φ + 2 ) cos θ + φ 1 5 φ + 10 sin θ ) ) {\displaystyle \pm (\varphi +2-(\varphi +2)\cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {5\varphi +10}}\sin \theta )\,)}
( ± ( 2 φ 1 + ( 1 + 3 φ ) cos θ + 5 φ + 10 sin θ ) , {\displaystyle (\,\pm (2\varphi -1+(1+3\varphi )\cos \theta +{\sqrt {5\varphi +10}}\,\sin \theta ),}
± ( 5 cos θ φ 5 φ + 10 sin θ ) , {\displaystyle \pm (5\cos \theta -\varphi {\sqrt {5\varphi +10}}\,\sin \theta ),}
± ( φ + 2 ( φ + 2 ) cos θ φ 1 5 φ + 10 sin θ ) ) {\displaystyle \pm (\varphi +2-(\varphi +2)\cos \theta -\varphi ^{-1}{\sqrt {5\varphi +10}}\sin \theta )\,)}
( ± ( 2 φ 1 ( 2 φ 1 ) cos θ + φ 5 φ + 10 sin θ ) , {\displaystyle (\,\pm (2\varphi -1-(2\varphi -1)\cos \theta +\varphi {\sqrt {5\varphi +10}}\,\sin \theta ),}
± ( 5 φ cos θ + φ 1 5 φ + 10 sin θ ) , {\displaystyle \pm (5\varphi \cos \theta +\varphi ^{-1}{\sqrt {5\varphi +10}}\,\sin \theta ),}
± ( φ + 2 + ( 3 φ ) cos θ 5 φ + 10 sin θ ) ) {\displaystyle \pm (\varphi +2+(3-\varphi )\cos \theta -{\sqrt {5\varphi +10}}\sin \theta )\,)}

unde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} este secțiunea de aur.

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

V = 2 ( 5 + 2 5 ) a 3 18 , 944272   a 3 . {\displaystyle V=2(5+2{\sqrt {5}})\,a^{3}\approx 18,944272~a^{3}.}

Note

  1. ^ gadsid, bendwavy.org, accesat 2023-08-18
  2. ^ a b en Skilling, John (), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (03): 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554 

Vezi și

Compuși de antiprisme

Legături externe

Portal icon Portal Matematică
  • en Polyhedron Category C8: Antiprismatics Gadsid