Compus de două mari icosidodecaedre retrosnub

Compus de două mari icosidodecaedre retrosnub
(model 3D)
Descriere
Tipcompus poliedric uniform
UC71 - UC72 - UC73
Fețe184 (160 triunghiuri,
          24 pentagrame)
Laturi (muchii)300
Vârfuri120
Configurația vârfului32,3/2,3,5/3[1]
Grup de simetrie
  • Compus: icosaedrică (Ih)
  • Constituenți: icosaedrică chirală (I)
Volum≈2,075 a3   (a = latura)
Poliedru dualcompus de două mari hexacontaedre pentagramice
ProprietățiConstituenți: 2 mari icosidodecaedre retrosnub

În geometrie compusul de două mari icosidodecaedre retrosnub este un compus poliedric uniform format din 2 versiuni chirale ale marelui icosidodecaedru retrosnub. Are simetrie icosaedrică (Ih).[2]

Are indicele de compus uniform UC72,[2] și indicele Wenninger 117.[3]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr par de semne plus și permutările impare cu un număr impar de semne plus ale[2]

( ± 2 α , ± 2 , ± 2 β ) {\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}
( ± ( α − β φ − φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β − φ ) , ± ( − α φ − β φ − 1 − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)}
( ± ( α φ − β φ − 1 + 1 ) , ± ( − α − β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 + β + φ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)}
( ± ( α φ − β φ − 1 − 1 ) , ± ( α + β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 + β − φ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)}
( ± ( α − β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 − β − φ ) , ± ( − α φ − β φ − 1 + 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)}

unde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} este secțiunea de aur,

ξ {\displaystyle \xi } este cea mai mică rădăcină reală pozitivă a polinomului ξ 3 − 2 ξ + φ − 1 {\displaystyle \xi ^{3}-2\xi +\varphi ^{-1}} , soluția analitică fiind
ξ = ( 1 + i 3 ) ( 1 2 τ + τ − 2 4 − 8 27 ) 1 3 + ( 1 − i 3 ) ( 1 2 τ − τ − 2 4 − 8 27 ) 1 3 2 ≈ 0 , 3264046 , {\displaystyle \xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}\approx 0,3264046,}
rezultat care se poate obține și numeric,[4]
α = ξ − ξ − 1 {\displaystyle \alpha =\xi -\xi ^{-1}} iar
β = − ξ φ − 1 + φ − 2 − ( ξ φ ) − 1 . {\displaystyle \beta =-\xi \varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}-(\xi \varphi )^{-1}.}

Rază circumscrisă

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate este[3]

R = 1 2 2 − x 1 − x ≈ 0 , 580002 {\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}\approx 0,580002}

unde x ≈ − 1 , 89346 {\displaystyle x\approx -1,89346} este cea mai mică rădăcină reală a polinomului x 3 + 2 x 2 − φ − 2 {\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{-2}} .[5]

Volum

Volumul său, V, este dat de cea mai mică dintre rădăcinile reale ale polinomului de gradul al șaselea în x 2 {\displaystyle x^{2}}

2176782336 x 12 − 3195335070720 x 10 + 162223191936000 x 8 + 1030526618040000 x 6 + 6152923794150000 x 4 − 182124351550575000 x 2 + 187445810737515625. {\displaystyle {\begin{aligned}&2176782336x^{12}-3195335070720x^{10}+162223191936000x^{8}+1030526618040000x^{6}\\{}&+6152923794150000x^{4}-182124351550575000x^{2}+187445810737515625.\end{aligned}}}

Cele patru rădăcini reale ale acestui polinom sunt x1 = 1,03760, x2 = 2,71387, x3 = 7,67390 și x4 = 37,6166[6] și sunt, în ordine, volumele marelui icosidodecaedru retrosnub (U74), marelui icosidodecaedru snub (U57), marelui icosidodecaedru snub inversat (U69) și al dodecaedrului snub (U29).

Ca urmare, volumul este

V ≈ 2 , 07520   a 3 {\displaystyle V\approx 2,07520~a^{3}}

unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).

Note

  1. ^ en gidrissid, bendwavy.org, accesat 2023-10-24
  2. ^ a b c en Skilling, John (), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (03): 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554 
  3. ^ a b en Eric W. Weisstein, Great Retrosnub Icosidodecahedron la MathWorld.
  4. ^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-22
  5. ^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-22
  6. ^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-21

Vezi și

Compuși de poliedre snub

Legături externe

Portal icon Portal Matematică
  • en Polyhedron Category C10: Disnubs Gidrissid