Compus de două mari icosidodecaedre snub inversate

Compus de două mari icosidodecaedre snub inversate
Descriere
Tipcompus poliedric uniform
UC70 - UC71 - UC72
Fețe184 (160 triunghiuri,
          24 pentagrame)
Laturi (muchii)300
Vârfuri120
Configurația vârfului34,5/3[1]
Grup de simetrie
  • Compus: icosaedrică (Ih)
  • Constituenți: icosaedrică chirală (I)
Volum≈5,428 a3   (a = latura)
Poliedru dualcompus de două mari hexacontaedre pentagonale
ProprietățiConstituenți: 2 mari icosidodecaedre snub inversate

În geometrie compusul de două mari icosidodecaedre snub inversate este un compus poliedric uniform format din 2 versiuni chirale ale marelui icosidodecaedru snub inversat. Are simetrie icosaedrică (Ih).[2] Din cele 160 de fețe triunghiulare, 40 sunt grupate câte două în 20 de hexagrame, iar cele 24 de fețe pentagramice sunt grupate câte două, suprapunându-se.

Are indicele de compus uniform UC71[2] și indicele Wenninger 113.[3]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr impar de semne minus și permutările impare cu un număr impar de semne plus ale[2]

( ± 2 α , ± 2 , ± 2 β ) {\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}
( ± ( α − β φ − φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β − φ ) , ± ( − α φ − β φ − 1 − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)}
( ± ( α φ − β φ − 1 + 1 ) , ± ( − α − β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 + β + φ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)}
( ± ( α φ − β φ − 1 − 1 ) , ± ( α + β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 + β − φ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)}
( ± ( α − β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 − β − φ ) , ± ( − α φ − β φ − 1 + 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)}

unde φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} este secțiunea de aur,

ξ {\displaystyle \xi } este cea mai mare rădăcină reală (pozitivă) a polinomului ξ 3 − 2 ξ + φ − 1 , ≈ 1 , 2224727 , {\displaystyle \xi ^{3}-2\xi +\varphi ^{-1},\,\approx 1,2224727,} [4]
α = ξ − ξ − 1 {\displaystyle \alpha =\xi -\xi ^{-1}} iar
β = − ξ φ − 1 + φ − 2 − ( ξ φ ) − 1 . {\displaystyle \beta =-\xi \varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}-(\xi \varphi )^{-1}.}

Rază circumscrisă

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate este[3]

R = 1 2 2 − x 1 − x ≈ 0 , 6450202 {\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}\approx 0,6450202}

unde x {\displaystyle x} este a doua ca mărime rădăcină reală a polinomului x 3 + 2 x 2 − φ − 2 {\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{-2}} iar φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} este secțiunea de aur.

Volum

Volumul său, V, este dat de cea mai mare rădăcină reală a polinomului de gradul al șaselea în x 2 {\displaystyle x^{2}}

2176782336 x 12 − 3195335070720 x 10 + 162223191936000 x 8 + 1030526618040000 x 6 + 6152923794150000 x 4 − 182124351550575000 x 2 + 187445810737515625 {\displaystyle {\begin{aligned}&2176782336x^{12}-3195335070720x^{10}+162223191936000x^{8}+1030526618040000x^{6}\\{}&+6152923794150000x^{4}-182124351550575000x^{2}+187445810737515625\end{aligned}}}

cu care volumul este

V ≈ 5 , 42775   a 3 {\displaystyle V\approx 5,42775~a^{3}}

unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).

Note

  1. ^ gidsid, bendwavy.org, accesat 2023-10-21
  2. ^ a b c en Skilling, John (), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (03): 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554 
  3. ^ a b Eric W. Weisstein, Great Inverted Snub Icosidodecahedron la MathWorld.
  4. ^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-22

Vezi și

Compuși de poliedre snub

Legături externe

Portal icon Portal Matematică
  • en Polyhedron Category C10: Disnubs Gidsid